Question

已知点F（1，0）和直线l₁：x=-1，直线l₂过直线l₁上的动点M且与直线l₁垂直，线段MF的垂直平分线l与直线l₂相交于点P．
（I）求点P的轨迹C的方程；
（II）设直线PF与轨迹C相交于另一点Q，与直线l₁相交于点N，求

NP

•

NQ

的最小值．

Answer 1

分析：（I）由题意可得，点P到点F（1，0）的距离等于点P到直线l₁：x=-1的距离，由抛物线的定义可得点P的轨迹是抛物线，从而求得方程．
（II）把直线PF的方程y=k（x-1）代入y²=4x化简，把根与系数的关系代入

NP

•

NQ

=|

NP|

•|

NQ

|=

1+k2

|x1+1|•

1+k2

|x2+1| 化简，再利用基本不等式求得

NP

•

NQ

的最小值．

解答：解：（I）连接PF，∵MF的中垂线l交l₂于点P，∴|PF|=|PM|，即点P到点F（1，0）的距离等于
点P到直线l₁：x=-1的距离，由抛物线的定义可得点P的轨迹C是以F为焦点，以直线l₁：x=-1为准线的抛物线，
方程为 y²=4x．
（II）把直线PF的方程y=k（x-1）代入y²=4x可得 k²x²-（2k²+4）x+k²=0，k≠0，且△＞0．
且x₁+x₂=

2k2+4

k2

，x₁•x₂=1．∵

NP

和

NQ

 同向，N（-1，-2k），
∴

NP

•

NQ

=|

NP|

•|

NQ

|=

1+k2

|x1+1|•

1+k2

|x2+1|=（1+k²）（x₁•x₂+x₁+x₂+1 ）
=4（k²+

1

k2

+2）≥16，当且仅当k=±1时，等号成立．
∴

NP

•

NQ

的最小值为16．

点评：本题考查抛物线的定义，一元二次方程根与系数的关系，基本不等式的应用，得到

NP

•

NQ

=|

NP|

•|

NQ

|=

1+k2

|x1+1|•

1+k2

|x2+1| 是解题的关键．