Question

已知函数f（x）=e^x_+x，对于曲线y=f（x）上横坐标成等差数列的三个点A，B，C，给出以下判断：
①△ABC一定是钝角三角形；
②△ABC可能是直角三角形；
③△ABC可能是等腰三角形；
④△ABC不可能是等腰三角形．
其中，正确的判断是（ ）
A．①③
B．①④
C．②③
D．②④

Answer 1

【答案】分析：由于函数f（x）=e^x+x，对于曲线y=f（x）上横坐标成等差数列的三个点A，B，C，由函数的定义及函数单调性进行判断即可得出正确选项，对于①正确，由函数的图象可以得出，角ABC是钝角，②亦可由此判断出；③④可由变化率判断出．
解答：解：由于函数f（x）=e^x+x，对于曲线y=f（x）上横坐标成等差数列的三个点A，B，C，且横坐标依次增大
由于此函数是一个单调递增的函数，故由A到B的变化率要小于由B到C的变化率．可得出角ABC一定是钝角故①对，②错．
由于由A到B的变化率要小于由B到C的变化率，由两点间距离公式可以得出AB＜BC，故三角形不可能是等腰三角形，由此得出③不对，④对．
故选B．
点评：此题考查了数列与函数的综合，求解本题的关键是反函数的性质及其变化规律研究清楚，由函数的图形结合等差数列的性质得出答案．