【题目】设函数g(x)=x2﹣2x+1+mlnx,(m∈R).
(1)当m=1时,求函数y=g(x)在点(1,0)处的切线方程;
(2)当m=﹣12时,求f(x)的极小值;
(3)若函数y=g(x)在x∈( ,+∞)上的两个不同的数a,b(a<b)处取得极值,记{x}表示大于x的最小整数,求{g(a)}﹣{g(b)}的值(ln2≈0.6931,ln3≈1.0986).
【答案】
(1)解:函数y=g(x)=x2﹣2x+1+mlnx,g′(x)=2x﹣2+ ,k=g′(1)=1,
则切线方程为y=x﹣1,
故所求切线方程为x﹣y﹣1=0
(2)解:m=﹣12时,g(x)=)=x2﹣2x+1﹣12lnx,(x>0),
g′(x)=2x﹣2﹣ = ,
令g′(x)>0,解得:x>3,令g′(x)<0,解得:0<x<3,
故g(x)在(0,3)递减,在(3,+∞)递增,
故g(x)极小值=g(3)=4﹣12ln3
(3)解:函数y=g(x)的定义域为(0,+∞),
g′(x)=2x﹣2+ = ,
令g′(x)=0并结合定义域得2x2﹣2x+m>0.
①当△≤0,即m≥ 时,g′(x)≥0,则函数g(x)的增区间为(0,+∞);
②当△>0且m>0,即0<m< 时,函数g(x)的增区间为(0, ),( ,+∞);
③当△>0且m≤0,即m≤0时,函数g(x)的增区间为( ,+∞);
故得0<m< 时,a,b为方程2x2﹣2x+m=0的两相异正根, <b< , <a< ,
又由2b2﹣2b+m=0,得m=﹣2b2+2b,
∴g(b)=b2﹣2b+1+mlnb=b2﹣2b+1+(﹣2b2+2b)lnb,b∈( , ),
g′(b)=2b﹣2+(﹣4b+2)lnb+2﹣2b=﹣4(b﹣ )lnb,
当b∈( , )时,g′(b)>0,即函数g(b)是( , )上的增函数.
故g(b)的取值范围是( , ),则{g(b)}=0.
同理可求得g(a)的取值范围是( , ),则{g(a)}=0或{g(a)}=1.
∴{g(a)}﹣{g(b)}=0或1
【解析】(1)把m=1代入函数解析式,求得导函数,得到切线的斜率,则切线方程可求;(2)求出函数的导数,解关于导函数的不等式,求出函数的单调区间,从而求出函数的极小值即可;(3)根据函数的单调性得到函数y=g(x)在x∈( ,+∞)上有两个极值点的m的范围,由a,b为方程2x2﹣2x+m=0的两相异正根,及根与系数关系,得到a,b的范围,把m用a(或b)表示,得到g(a)(或g(b)),求导得到g(b)的取值范围,进一步求得{g(a)}(或{g(b)}),则答案可求.
【考点精析】根据题目的已知条件,利用函数的极值与导数的相关知识可以得到问题的答案,需要掌握求函数的极值的方法是:(1)如果在附近的左侧,右侧,那么是极大值(2)如果在附近的左侧,右侧,那么是极小值.
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【题目】已知直线: ax+by=1(其中a,b是实数) 与圆:x2+y2=1(O是坐标原点)相交于A,B两点,且△AOB是直角三角形,点P(a,b)是以点M(0,1)为圆心的圆M上的任意一点,则圆M的面积最小值为 .
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【题目】如图,过抛物线y2=2px(p>0)焦点F的直线l交抛物线于点A、B,交其准线于点C,若|BC|=2|BF|,且|AF|=3,则此抛物线的方程为( )
A.y2=3x
B.y2=9x
C.y2= x
D.y2= x
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【题目】已知二次函数f(x)的对称轴x=﹣2,f(x)的图象被x轴截得的弦长为2 ,且满足f(0)=1.
(1)求f(x)的解析式;
(2)若f(( )x)>k,对x∈[﹣1,1]恒成立,求实数k的取值范围.
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【题目】经市场调查,某城市的一种小商品在过去的近20天内的销售量(件)与价格(元)均为时间t(天)的函数,且销售量近似满足g(t)=80﹣2t(件),价格近似满足于 (元).
(Ⅰ)试写出该种商品的日销售额y与时间t(0≤t≤20)的函数表达式;
(Ⅱ)求该种商品的日销售额y的最大值与最小值.
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【题目】已知圆O:x2+y2=4与x轴负半轴的交点为A,点P在直线l: x+y﹣a=0上,过点P作圆O的切线,切点为T.
(1)若a=8,切点T( ,﹣1),求直线AP的方程;
(2)若PA=2PT,求实数a的取值范围.
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【题目】已知函数f(x)=ax2﹣x+2a﹣1(a>0).
(1)若f(x)在区间[1,2]为单调增函数,求a的取值范围;
(2)设函数f(x)在区间[1,2]上的最小值为g(a),求g(a)的表达式;
(3)设函数 ,若对任意x1 , x2∈[1,2],不等式f(x1)≥h(x2)恒成立,求实数a的取值范围.
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