Question

15．设数列{a_n}的前n项和为S_n，n∈N^*，已知a₁=1，a₂=$\frac{3}{2}$，a₃=$\frac{5}{4}$，且当n≥2时，4S_n+2+5S_n=8S_n+1+S_n-1．
（1）求a₄的值．
（2）证明：{a_n-1-$\frac{1}{2}$a_n}为等比数列；
（3）求数列{a_n}的通项公式．

Answer 1

分析 （1）通过4S₄+5S₂=8S₃+S₁，直接代入计算即可；
（2）通过对4S_n+2+5S_n=8S_n+1+S_n-1变形可知4S_n+2-4S_n+1+S_n-S_n-1=4S_n+1-4S_n，即4a_n+2+a_n=4a_n+1，整理得a_n+1-2a_n+2=$\frac{1}{2}$（a_n-2a_n+1），进而计算可得结论；
（3）通过（2）可知a_n+1-$\frac{1}{2}$a_n=$\frac{1}{{2}^{n-1}}$，两边同时乘以2ⁿ⁺¹可知2ⁿ⁺¹a_n+1=2ⁿa_n+4，进而数列{2ⁿa_n}是以2为首项、4为公差的等差数列，计算即得结论．

解答 （1）解：∵a₁=1，a₂=$\frac{3}{2}$，a₃=$\frac{5}{4}$，
∴S₁=1，S₂=$\frac{5}{2}$，S₃=$\frac{15}{4}$，
又∵4S₄+5S₂=8S₃+S₁，
∴S₄=$\frac{1}{4}$（8S₃+S₁-5S₂）=$\frac{1}{4}$（8•$\frac{15}{4}$+1-5•$\frac{5}{2}$）=$\frac{37}{8}$，
∴a₄=S₄-S₃=$\frac{37}{8}$-$\frac{15}{4}$=$\frac{7}{8}$；
（2）证明：∵4S_n+2+5S_n=8S_n+1+S_n-1，
∴4S_n+2-4S_n+1+S_n-S_n-1=4S_n+1-4S_n，
∴4a_n+2+a_n=4a_n+1，
整理得：a_n-2a_n+1=2a_n+1-4a_n+2，
∴a_n+1-2a_n+2=$\frac{1}{2}$（a_n-2a_n+1），
即a_n+2-$\frac{1}{2}$a_n+1=$\frac{1}{2}$（a_n+1-$\frac{1}{2}$a_n），
又∵${a}_{2}-\frac{1}{2}{a}_{1}$=$\frac{3}{2}$-$\frac{1}{2}$=1，
∴数列{a_n+1-$\frac{1}{2}$a_n}是以1为首项、$\frac{1}{2}$为公比的等比数列；
（3）解：由（2）可知a_n+1-$\frac{1}{2}$a_n=$\frac{1}{{2}^{n-1}}$，
∴a_n+1=$\frac{1}{2}$a_n+$\frac{1}{{2}^{n-1}}$，
∴2ⁿ⁺¹a_n+1=2ⁿa_n+4，
又∵2a₁=2，
∴数列{2ⁿa_n}是以2为首项、4为公差的等差数列，
∴2ⁿa_n=2+4（n-1）=4n-2，
∴a_n=$\frac{4n-2}{{2}^{n}}$=$\frac{2n-1}{{2}^{n-1}}$．

点评 本题考查等比数列的通项，注意解题方法的积累，属于中档题．