【题目】如图,四棱锥中,,,为中点.
(1)证明:平面;
(2)若平面,是边长为2的正三角形,求点到平面的距离.
【答案】(1)见解析.(2).
【解析】分析:第一问首先在平面内寻找的平行线,这个任务借助中位线,从而取中点,即为所求,之后应用线面平行的判定定理证得结果;第二问利用线面平行将点到平面的距离转化为求点到平面的距离,之后用等级法,借助于三棱锥的体积和三棱锥的体积相等求得对应的高,即点到面的距离.
详解:(1)证明:取的中点,连结
∵为的中点,∴,且
又∵,且
∴,且,故四边形为平行四边形
∴
又平面,平面,
∴平面.
(2)由(1)得平面
故点到平面的距离等于点到平面的距离
取的中点,连结
∵平面,平面,
∴平面平面
又是边长为2的正三角形
∴,,且
∵平面平面
∴平面,
∵四边形是直角梯形,
∴
∵,,,
∴,
∴
记点到平面的距离为,
∵三棱锥的体积
∴.
∴点到平面的距离为.
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【题目】已知顶点是坐标原点的抛物线的焦点在轴正半轴上,圆心在直线上的圆与轴相切,且关于点对称.
(1)求和的标准方程;
(2)过点的直线与交于,与交于,求证:.
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【题目】已知椭圆的右焦点为,点为椭圆上的动点,若的最大值和最小值分别为和.
(I)求椭圆的方程
(Ⅱ)设不过原点的直线与椭圆 交于两点,若直线的斜率依次成等比数列,求面积的最大值
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【题目】2017年春节期间,某服装超市举办了一次有奖促销活动,消费每超过600元(含600元),均可抽奖一次,抽奖方案有两种,顾客只能选择其中的一种.
方案一:从装有10个形状、大小完全相同的小球(其中红球3个,黑球7个)的抽奖盒中,一次性摸出3个球,其中奖规则为:若摸到3个红球,享受免单优惠;若摸出2个红球则打6折,若摸出1个红球,则打7折;若没摸出红球,则不打折.
方案二:从装有10个形状、大小完全相同的小球(其中红球3个,黑球7个)的抽奖盒中,有放回每次摸取1球,连摸3次,每摸到1次红球,立减200元.
(1)若两个顾客均分别消费了600元,且均选择抽奖方案一,试求两位顾客均享受免单优惠的概率;
(2)若某顾客消费恰好满1000元,试从概率的角度比较该顾客选择哪一种抽奖方案更合算?
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【题目】选修4-4:坐标系与参数方程
在直角坐标系中,已知点,直线:(为参数),以坐标原点为极点,轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线的极坐标方程为,直线和曲线的交点为,.
(1)求直线和曲线的普通方程;
(2)求.
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【题目】为推导球的体积公式,刘徽制造了一个牟合方盖(在一个正方体内作两个互相垂直的内切圆柱,这两个圆柱的公共部分叫做牟合方盖),但没有得到牟合方盖的体积.200年后,祖暅给出牟合方盖的体积计算方法,其核心过程被后人称为祖暅原理:缘幂势既同,则积不容异.意思是,夹在两个平行平面间的两个几何体被平行于这两个平行平面的任意平面所截,如果截面的面积总相等,那么这两个几何体的体积也相等.现在截取牟合方盖的八分之一,它的外切正方体的棱长为1,如图所示,根据以上信息,则该牟合方盖的体积为( )
A. B. C. D.
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