Question

已知向量

m

=(1，sin(ωx+

π

3

))，

n

=(2，2sin(ωx-

π

6

))（其中ω为正常数）
（Ⅰ）若ω=1，x∈[

π

6

，

2π

3

]，求

m

∥

n

时tanx的值；
（Ⅱ）设f（x）=

m

•

n

-2，若函数f（x）的图象的相邻两个对称中心的距离为

π

2

，求f（x）在区间[0，

π

2

]上的最小值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）ω=1，x∈[

π

6

，

2π

3

]，利用

m

∥

n

，推出sin(x-

π

6

)=sin(x+

π

3

)，然后利用两角差与和的正弦函数，化简求出tanx的值；
（Ⅱ）先求f（x）=

m

•

n

-2，根据函数f（x）的图象的相邻两个对称中心的距离为

π

2

，确定周期求出ω，然后求f（x）在区间[0，

π

2

]上的最小值．

解答：解：（Ⅰ）

m

∥

n

时，sin(x-

π

6

)=sin(x+

π

3

)，（2分）
sinxcos

π

6

-cosxsin

π

6

=sinxcos

π

3

+cosxsin

π

3

则

3

2

sinx-

1

2

cosx=

1

2

sinx+

3

2

cosx（4分）

3 -1

2

sinx=

3 +1

2

cosx，
所以tanx=

3 +1

3 -1

=2+

3

（6分）
（Ⅱ）f(x)=2sin(ωx-

π

6

)sin(ωx+

π

3

)=2sin(ωx-

π

6

)cos[(ωx+

π

3

)-

π

2

]=2sin(ωx-

π

6

)cos(ωx-

π

6

)=sin(2ωx-

π

3

)．（9分）
（或f(x)=2sin(ωx-

π

6

)sin(ωx+

π

3

)=2(

3

2

sinωx-

1

2

cosωx)(

1

2

sinωx+

3

2

cosωx)=2(

3

4

sin2ωx-

3

4

cos2ωx+

1

2

sinωxcosωx)=-

3

2

cos2ωx+

1

2

sin2ωx=sin(2ωx-

π

3

)（9分）
∵函数f（x）的图象的相邻两个对称中心的距离为

π

2

∴f（x）的最小正周期为π，又ω为正常数，
∴

2π

2ω

=π，解之，得ω=1．（11分）
故f(x)=sin(2x-

π

3

)．
因为x∈[0，

π

2

]，所以-

π

3

≤2x-

π

3

≤

2π

3

．
故当x=-

π

3

时，f（x）取最小值-

3

2

（14分）

点评：本题考查函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换，平行向量与共线向量，平面向量数量积的运算，考查计算能力，是基础题．