Question

17．设函数f（x）=lg（x²+ax-a+1），给出下列命题：
（1）f（x）一定有最小值；
（2）当a=0时，f（x）的值域为R；
（3）当a＞0时，f（x）在[2，+∞）有反函数；
（4）若f（x）在区间[2，+∞）上单增，则实数a的范围a≥-4．
则其中正确的命题是（3）（4）（要求把正确的命题的序号都填上）

Answer 1

分析 （1）当△＞0，二次函数y=x²+ax-a+1有负的最小值，此时对数式无意义，f（x）没有最小值；
（2）当a=0时，f（x）的值域为[0，+∞）；
（3）当a＞0时，函数y在[2，+∞）上单调递增，有反函数；
（4）由f（x）在区间[2，+∞）上单增可得x=-$\frac{a}{2}$≤2，可得a的范围．

解答 解：（1）∵△=a²-4（1-a）=5a²-4a，当△＞0，二次函数y=x²+ax-a+1有负的最小值，
此时对数式无意义，故f（x）没有最小值，错误；
（2）当a=0时，f（x）=lg（x²+1）≥lg1=0，f（x）的值域为[0，+∞），不是R，错误；
（3）当a＞0时，二次函数y=x²+ax-a+1的对称轴为x=-$\frac{a}{2}$＜0，故函数y在[2，+∞）上单调递增，
∴f（x）在[2，+∞）有反函数，正确；
（4）若f（x）在区间[2，+∞）上单增，则x=-$\frac{a}{2}$≤2，可得a≥-4，即实数a的范围a≥-4，正确．
故答案为：（3）（4）

点评 本题考查对数函数的性质，涉及二次函数的性质和反函数，属中档题．