Question

已知椭圆C过点M（1，

3

2

），两个焦点为A（-1，0），B（1，0），O为坐标原点．
（1）求椭圆C的方程；
（2）直线l过点A（-1，0），且与椭圆C交于P，Q两点，求△BPQ的内切圆面积的最大值．

Answer 1

分析：（1）由已知中焦点坐标，可得c值，进而根据椭圆过M点，代入求出a，b可得椭圆的标准方程；
（2）由于△BPQ为椭圆的焦点三角形，可得其周长为4a，根据三角形面积公式，可得△BPQ的面积S=4r，联立直线与椭圆的方程，利用韦达定理及基本不等式，求出三角形面积的最大值，可求出内切圆半径，进而得到内切圆的面积．

解答：解：（1）∵椭圆C的两个焦点为A（-1，0），B（1，0），
故c=1，且椭圆的坐标在x轴上
设椭圆C的方程为：

x2

1+b2

+

y2

b2

=1
∵椭圆C过点M（1，

3

2

），
∴

1

1+b2

+

9

4b2

=1
解得b²=3，或b²=-

3

4

∴椭圆C的方程为：

x2

4

+

y2

3

=1
（II）由（I）知△BPQ为椭圆

x2

4

+

y2

3

=1的焦点三角形，周长为4a=8
则△BPQ的面积S=

1

2

•4a•r=4r（r为△BPQ的内切圆半径）
故当△BPQ的面积最大进，其内切圆面积最大；
设直线l的方程为：x=ky-1，P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），则
由

x=ky-1 x2 4 + y2 3 =1

得：（4+3k²）y²-6ky-9=0
则y₁+y₂=

6k

3k2+4

，y₁+y₂=

-9

3k2+4

∴S=

1

2

•2c•|y₁-y₂|=

12 k2+1

3k2+4

令t=

k2+1

，（t≥1）
则S=

12

3t+ 1 t

，
∵y=3t+

1

t

在[1，+∞）上单调递增，故当t=1时，y取最小值，此时S取最大值3
此时r=

3

4

即△BPQ的内切圆面积的最大值为

9π

16

点评：本题考查的知识点是直线与圆锥曲线的综合应用，椭圆的标准方程，其中解答（2）时的三驾马车“联立方程，设而不求，韦达定理”是解答的关键．