Question

定义在R上的函数f（x）满足f（x）=

log2(1-x)，x≤0 f(x-1)-f(x-2)，x＞0

（1）计算：f（-1）、f（0）、f（1）、f（2），并求出f（n+3）与f（n），n∈N^*满足的关系式；
（2）对于数列{a_n}，若存在正整数T，使得a_n+T=a_n，则称数列{a_n}为周期数列，T为数列的周期，令an=f(n) ， n∈N*，证明：{a_n}为周期数列，指出它的周期T，并求a₂₀₁₂的值．

Answer 1

分析：（1）由f（-1）=log₂2=1，f（0）=0，f（1）=f（0）-f（-1）=-1，f（2）=f（1）-f（0）=-1能推导出f（n+3）=-f（n）．
（2）由a_n+3=-a_n，知a_n+6=-a_n+3=a_n．由此得到{a_n}是周期为6的周期数列，由此能求出a₂₀₁₂．

解答：解：（1）f（-1）=log₂2=1，f（0）=0，
f（1）=f（0）-f（-1）=-1，
f（2）=f（1）-f（0）=-1．…（4分）
当n∈N^*时，由已知可得：f（n+2）=f（n+1）-f（n），
f（n+3）=f（n+2）-f（n+1），…（6分）
两式相加：f（n+3）=-f（n）．…（7分）
（2）由（1）得：a_n+3=-a_n，
∴a_n+6=-a_n+3=a_n．…（10分）
∴{a_n}是周期为6的周期数列．…（11分）
∴a₂₀₁₂=a_335×6+2=a₂=f（2）=-1．…（14分）

点评：本题考查数列与函数的综合运用，是中档题．解题时要认真审题，注意等价转化思想的合理运用．