Question

如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，且底面ABCD是正方形，PA=AB，E为PO的中点．
（1）求证：PB∥平面EAC；
（2）求异面直线AE与PB所成角的大小．

Answer 1

考点：直线与平面平行的判定,异面直线及其所成的角

专题：空间位置关系与距离

分析：（1）根据线面平行的判定定理，先证明线线平行，进而证明线面平行；
（2）建立空间直角坐标系A-xyz，设PA=2，利用向量的夹角求异面直线AE与PB所成角．

解答： （1）证明：连接BD交AC于点O，连接EO，
∵ABCD是正方形
∴点O是BD的中点
又∵点E是PD的中点
∴EO是△DPB的中位线．
∴PB∥EO．
又∵EO?平面ACE，PB?平面EAC
∴PB∥平面EAC；
（2）建立空间直角坐标系A-xyz，设PA=2，如图，

则A（0，0，0），P（0，0，2），B（2，0，0），E（0，1，1），
所以

AE

=（0，1，1），

PB

=（-2，0，2），
所以AE=

2

，PB=2

2

，
所以cos＜

AE

，

PB

＞=

AE • PB

2 ×2 2

=

2

4

=

1

2

，
所以异面直线AE与PB所成角的大小为60°．

点评：本题考查线面平行的证明和异面直线所成的角的求法．熟练应用线面平行的性质定理和利用向量法是关键．属于经常考查题型．