Question

给出定义：若m-

1

2

＜x≤m+

1

2

（其中m为整数），则m叫做离实数x最近的整数，记作{x}，即{x}=m．在此基础上给出下列关于函数f（x）=|x-{x}|的四个命题：
①函数y=f（x）的定义域是R，值域是[0，

1

2

]；
②函数y=f（x）的图象关于直线x=

k

2

（k∈Z）对称；
③函数y=f（x）是周期函数，最小正周期是1；
则其中真命题是

①②③

．

Answer 1

分析：定义域显然为R，然后根据题设x≤m+

1

2

，{x}=m，则f（x）=x-{x}≤

1

2

；
f（k-x）=|（k-x）-{k-x}|=|（-x）-{-x}|=f（-x），所以关于x=x=

k

2

（k∈Z）对称；
f（x+1）=|（x+1）-{x+1}|=|x-{x}|=f（x），所以周期为1．

解答：解：①定义域显然为R，然后根据题设x≤m+

1

2

，{x}=m，
则f（x）=x-{x}≤

1

2

，故①成立；
②f（k-x）=|（k-x）-{k-x}|=|（-x）-{-x}|=f（-x），
所以关于x=

k

2

（k∈Z）对称，故②成立；
③f（x+1）=|（x+1）-{x+1}|=|x-{x}|=f（x），
所以周期为1，故③成立．
故答案为：①②③．

点评：本题考查函数的性质和应用，解题时要认真审题，仔细解答，注意函数的定义域、值域、对称性和周期性的求法．