Question

数列{a_n}前n项和为S_n且a_n+S_n=1（n∈N^*）
（Ⅰ）求{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）若数列{b_n}满足b₁=1，且b_n+1=b_n+a_n（n≥1），求{b_n}通项公式及前n项和T_n．

Answer 1

分析：（Ⅰ）只需要写出相邻的项对应的关系式，两式相减即可获得数列通项之间的关系，结合数列的特点即可获得解答；
（Ⅱ）结合（Ⅰ）可知数列{b_n}满足b_n+1-b_n=a_n，通过错位相消即可求的数列{b_n}的通项公式，再通过分组法即可求得数列的前n项公式．

解答：解：（Ⅰ）∵a_n+S_n=1，
∴a_n+1+S_n+1=1
两式相减得a_n+1-a_n+S_n+1-S_n=0．∴2a_n+1=a_n．
∴{a_n}为公式为

1

2

的等比数列．
又n=1时，a₁+S₁=1．∴a1=

1

2

∴an=a1qn-1=

1

2

•(

1

2

)n-1=(

1

2

)n
∴{a_n}的通项公式：an=(

1

2

)n，n∈N*．
（Ⅱ）∵b_n+1=b_n+a_nbn+1-bn=(

1

2

)n．
∴b2-b1=

1

2

，b3-b2=(

1

2

)2，  b4-b3=(

1

2

)3， ，  bn-bn-1=(

1

2

)n-1
相加，bn-b1=

1

2

+(

1

2

)2+(

1

2

)3++(

1

2

)n-1．
∵b₁=1，
∴bn=1+

1

2

+(

1

2

)2++(

1

2

)n-1═2(1-

1

2n

)
即bn=2(1-

1

2n

)．
Tn=2n-2(

1

2

+

1

22

++

1

2n

)=2n-2(1-

1

2n

)=2(n-1)+

1

2n-1

．
∴{b_n}通项公式为：bn=2(1-

1

2n

)，n∈N*
前n项和为：Tn=2(n-1)+

1

2n-1

，n∈N*

点评：本题考查的是数列的递推关系问题．在解答的过程当中充分体现了递推关系的处理、特殊数列的探究、错位相消的处理方法以及问题转化的能力．值得同学们体会反思．