Question

已知中心在直角坐标系的原点、焦点在x轴上的椭圆C，其长轴的长为6，点F₁，F₂为椭圆C的左、右焦点，点P为该椭圆上的动点，且△F₁PF₂ 面积的最大值为2

5

．
（1）求椭圆C的方程；
（2）求

1

PF 2 1

+

1

PF 2 2

的取值范围．

Answer 1

考点：椭圆的简单性质

专题：圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：（1）设椭圆的方程为：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0），由于长轴的长为6，点P为该椭圆上的动点，且△F₁PF₂ 面积的最大值为2

5

．可得2a=6，

1

2

•2c•b=2

5

，a²=b²+c²，解出即可．
（2））|PF₁|+|PF₂|=6，设|PF₁|=t，可得a-c≤t≤a+c．分类讨论：当c=2时，t∈[1，4]；当c=

5

时，t∈[3-

5

，3+

5

]．

1

PF 2 1

+

1

PF 2 2

=

1

t2

+

1

(6-t)2

=f（t），利用导数研究其单调性极值与最值即可得出．

解答： 解：（1）设椭圆的方程为：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0），
∵长轴的长为6，点P为该椭圆上的动点，且△F₁PF₂ 面积的最大值为2

5

．
∴2a=6，

1

2

•2c•b=2

5

，又a²=b²+c²，
解得a=3，b²=5或4．
∴椭圆的方程为：

x2

9

+

y2

5

=1或

x2

9

+

y2

4

=1．
（2）|PF₁|+|PF₂|=6，设|PF₁|=t，则a-c≤t≤a+c，
①当c=2时，t∈[1，4]，

1

PF 2 1

+

1

PF 2 2

=

1

t2

+

1

(6-t)2

=f（t），
f′（t）=-

2

t3

+

2

(6-t)3

=

2(t-3)(t2-6t+36)

t3(6-t)3

，令f′（t）=0，解得t=3．
令f′（t）＞0，解得3＜t≤4，函数f（t）单调递增；令f′（t）＜0，解得1≤t＜3，函数f（t）单调递减．
而f（1）=

26

25

，f（4）=

5

16

，f（3）=

2

9

．
∴f(t)∈[

2

9

，

26

25

]．
②当c=

5

时，t∈[3-

5

，3+

5

]，同理可得：f（t）∈[

2

9

，

7

4

]．

点评：本题考查了椭圆的标准方程及其性质、利用导数研究其单调性极值与最值、分类讨论的思想方法，考查了推理能力与计算能力，属于难题．