【题目】已知抛物线:,焦点,如果存在过点的直线与抛物线交于不同的两点.,使得,则称点为抛物线的“分点”.
(1)如果,直线:,求的值;
(2)如果为抛物线的“分点”,求直线的方程;
(3)证明点不是抛物线的“2分点”;
(4)如果是抛物线的“2分点”,求的取值范围.
【答案】(1);(2);(3)证明见解析;(4)
【解析】
(1)联立求得点,点的坐标,从而可求得三角形面积,进而求得;
(2)由可得,则,联立直线:与抛物线,由韦达定理可得与的关系,进而求得,从而得到直线方程;
(3)假设成立,设直线:,利用点到直线距离公式求得面积,整理可得,将直线与抛物线联立可得,故可证明假设不成立;
(4)设直线:,联立直线与抛物线得,则根据韦达定理可得与的关系,由也可以得到与的关系,二者结合可得,进而求解即可
解:(1)联立得,则,,
所以,
,
所以,
即
(2)设.,不妨设,,设直线:,
因为,
所以,得,
将代入得,
所以,则,所以,
所以直线:,即
(3)设直线:(),代入整理得,,
由韦达定理得,所以,
则点到直线:的距离,
由得,解得,
又(),,消得,
将代入化简得,解得,不成立,
所以点不是抛物线的“2分点”.
(4)设,,不妨设,,
设直线:,
将直线代入得,
则,
由,得,解得,
所以,消得,解得.
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【题目】在平面直角坐标系中,直线的倾斜角为,且经过点.以坐标原点O为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,直线,从原点O作射线交于点M,点N为射线OM上的点,满足,记点N的轨迹为曲线C.
(Ⅰ)求出直线的参数方程和曲线C的直角坐标方程;
(Ⅱ)设直线与曲线C交于P,Q两点,求的值.
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【题目】在平面直角坐标系xOy中,将椭圆上每一点的横坐标保持不变,纵坐标变为原来的一半,得曲线C,以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,直线l的极坐标方程为.
写出曲线C的普通方程和直线l的直角坐标方程;
已知点且直线l与曲线C交于A、B两点,求的值.
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【题目】双曲线C:左、右焦点分别为,,左、右顶点分别为,B为虚轴的上顶点,若直线上存在两点使得,且过双曲线的右焦点作斜率为1的直线与双曲线的左、右两支各有一个交点,则双曲线离心率的范围是( )
A.B.C.D.
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【题目】设直线与平面相交但不垂直,则下列说法中正确的是( )
A.在平面内没有直线与直线垂直;
B.在平面内有且只有一条直线与直线垂直;
C.在平面内有无数条直线与直线垂直;
D.在平面内存在两条相交直线与直线垂直.
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【题目】已知椭圆E的方程为y2=1,其左焦点和右焦点分别为F1,F2,P是椭圆E上位于第一象限的一点
(1)若三角形PF1F2的面积为,求点P的坐标;
(2)设A(1,0),记线段PA的长度为d,求d的最小值.
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【题目】在直角坐标系中,曲线的参数方程是(t是参数),以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线的极坐标方程是。
(1)求曲线的普通方程和曲线的直角坐标方程;
(2)若两曲线交点为,求
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【题目】在平面直角坐标系中,①已知点,,为曲线上任一点,到点的距离和到点的距离的比值为2;②圆经过,,且圆心在直线上.从①②中任选一个条件.
(1)求曲线的方程;
(2)若直线被曲线截得弦长为2,求的值.
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