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【题目】已知抛物线,焦点,如果存在过点的直线与抛物线交于不同的两点.,使得,则称点为抛物线分点

1)如果,直线,求的值;

2)如果为抛物线分点,求直线的方程;

3)证明点不是抛物线“2分点

4)如果是抛物线的“2分点,求的取值范围.

【答案】1;(2;(3)证明见解析;(4

【解析】

1)联立求得点,的坐标,从而可求得三角形面积,进而求得

2)由可得,,联立直线与抛物线,由韦达定理可得的关系,进而求得,从而得到直线方程;

3)假设成立,设直线,利用点到直线距离公式求得面积,整理可得,将直线与抛物线联立可得,故可证明假设不成立;

4)设直线,联立直线与抛物线得,则根据韦达定理可得的关系,也可以得到的关系,二者结合可得,进而求解即可

解:(1)联立,则,,

所以,

,

所以,

2)设.,不妨设,,设直线,

因为,

所以,得,

代入,

所以,则,所以

所以直线,即

3)设直线),代入整理得,,

由韦达定理得,所以,

则点到直线的距离,

,解得,

),,消,

代入化简得,解得,不成立,

所以点不是抛物线“2分点

4)设,,不妨设,,

设直线,

将直线代入,

,

,得,解得,

所以,消,解得

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