Question

已知函数f（x）对于任意的x∈R，都满足f（-x）=f（x），且对任意的a，b∈（-∞，0]，当a≠b时，都有

f(a)-f(b)

a-b

＜0．若f（m+1）＜f（2），则实数m的取值范围是

 

．

Answer 1

分析：由题意可得函数f（x）为偶函数，在（-∞，0]上是减函数，故由不等式可得-2＜m+1＜2，由此求得m的范围．

解答：解：由f（-x）=f（x），可得函数f（x）为偶函数．
再根据对任意的a，b∈（-∞，0]，当a≠b时，都有

f(a)-f(b)

a-b

＜0，故函数在（-∞，0]上是减函数．
故由f（m+1）＜f（2），
可得-2＜m+1＜2，解得-3＜m＜1，
故答案为：（-3，1）．

点评：本题主要考查函数的单调性和奇偶性，得到-2＜m+1＜2，是解题的关键，属于中档题．