Question

已知三次函数f（x）=x³+ax²+bx+c在x=1和x=-1时取极值，且f（-2）=-4．
（I）求函数y=f（x）的表达式；
（II）求函数y=f（x）的单调区间和极值；
（Ⅲ）若函数g（x）=f（x-m）+4m（m＞0）在区间[m-3，n]上的值域为[-4，16]，试求m、n应满足的条件．

Answer 1

【答案】分析：（I）由题意先求f（x）的导函数，利用导数的几何含义和切点的实质及g（x）为奇函数建立a，b，c的方程求解即可；
（Ⅱ）有（1）可知函数f（x）的解析式，先对函数f（x）求导，再利用极值和单调性的概念加以求解即可．
（Ⅲ）根据（1）函数的单调性，由于x∈[m-3，n]恒成立求出函数的最大值，列出不等式，求出mn的范围即可．
解答：解：（I）f′（x）=3x²+2ax+b，由题意得，1，-1是3x²+2ax+b=0的两个根，
解得，a=0，b=-3．（2分）再由f（-2）=-4可得c=-2．∴f（x）=x³-3x-2．（4分）
（Ⅱ）f′（x）=3x²-3=3（x+1）（x-1），当x＜-1时，f'（x）＞0；当-1＜x＜1时，f'（x）＜0；落当x＞-1时，f'（x）＞0．（6分）∴函数f（x）在区间（-∞，-1]上是增函数；在区间[-1，1]上是减函数；在区间[1，+∞）上是增函数．（7分）
函数f（x）的极大值是f（-1）=0，极小值是f（1）=-4．（9分）
（Ⅲ）函数g（x）的图象是由f（x）的图象向右平移m个单位，向上平移4m个单位得到，
所以，函数f（x）在区间[-3，n-m]上的值域为[-4-4m，16-4m]（m＞0）．（10分）
f（-3）=-20，∴-4-4m=-20，即m=4．
于是，函数f（x）在区间[-3，n-4]上的值域为[-20，0]，（12分）
令f（x）=0得x=-1或x=2．
由f（x）的单调性知，-1≤n-4≤2，即3≤n≤6．
综上所述，m应满足的条件是：m=4，且3≤n≤6（14分）
点评：（1）此问重点考查了导函数，还考查了方程的数学思想；
（2）此问考查了函数的极值的定义和求极值的方法．
（3）考查学生利用导数研究函数极值的能力，利用导数研究函数单调性的能力，注意理解函数恒成立时所取到的条件．