Question

【题目】已知命题P：函数f（x）=log2m（x+1）是增函数；命题Q：x∈R，x2+mx+1≥0．
（1）写出命题Q的否命题￢Q；并求出实数m的取值范围，使得命题￢Q为真命题；
（2）如果“P∨Q”为真命题，“P∧Q”为假命题，求实数m的取值范围

Answer 1

【答案】
（1）解：Q：x0∈R，x02+mx0+1＜0．

若Q为真命题，则△=m2﹣4＞0，解得：m＜﹣2，或m＞2．

故所求实数m的取值范围为：（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞）．

（2）解：若函数f（x）=log2m（x+1）是增函数，则 2m＞1， ．

又x∈R，x2+mx+1≥0为真命题时，由△=m2﹣4≤0，

求得m的取值范围为B={m|﹣2≤m≤2}．

由“P∨Q”为真命题，“P∧Q”为假命题，故命题P、Q中有且仅有一个真命题．

当P真Q假时，实数m的取值范围为：

．

当P假Q真时，实数m的取值范围为：

；

综上可知实数m的取值范围：[﹣2， ]∪（2，+∞）．

【解析】（1）否命题Q，就是把命题Q的条件和结论都否定，联系对应二次函数图象，由△=m2﹣4＞0，解得m的

取值范围．（2）命题P和命题Q中，一个为真命题，一个为假命题，分命题P是真命题且命题Q是假命题、命题P是

假命题且命题Q是真命题，两种情况，计算可得答案．

【考点精析】通过灵活运用交、并、补集的混合运算和对数函数的单调性与特殊点，掌握求集合的并、交、补是集合间的基本运算，运算结果仍然还是集合，区分交集与并集的关键是“且”与“或”，在处理有关交集与并集的问题时，常常从这两个字眼出发去揭示、挖掘题设条件，结合Venn图或数轴进而用集合语言表达，增强数形结合的思想方法；过定点（1，0），即x=1时，y=0;a>1时在（0，+∞）上是增函数;0>a>1时在（0，+∞）上是减函数即可以解答此题．