Question

在△ABC中，内角A、B、C的对边长分别为a、b、c，已知函数满足：对于任意x∈R，f（x）≤f（A））恒成立．
（1）求角A的大小；
（2）若，求BC边上的中线AM长的取值范围．

Answer 1

解：（1）由题意可得f（A）为函数f（x）的最大值，即=1，∴A=．
（2）若，则BM=，△ABM中，由余弦定理可得 c²=+AM²-2×cos∠AMB ①．
在△ACM中，由余弦定理可得 b² =+AM²-2×cos∠AMC=+AM² +2×cos∠AMB ②．
把①、②相加可得AM² =-．
△ABC中，再由余弦定理可得 3=b²+c²-2bc•cosA=b²+c²-bc，
故有 b²+c² =3+bc＞3，且 b²+c²-bc=3≥b²+c²-，
化简可得3＜b²+c²≤6，∴AM∈（，]．
分析：（1）由题意可得f（A）为函数f（x）的最大值，即=1，由此求得角A 的值．
（2）利用余弦定理可得AM²=-+，3=b²+c²-bc，从而得到 3＜b²+c²≤6，由此求得BC边上的中线AM长的
取值范围．
点评：本题主要考查余弦定理，求三角函数的最值，以及不等式性质的应用，属于中档题．