Question

甲、乙两名跳高运动员一次试跳2米高度成功的概率分别为0、7、0、6，且每次试跳成功与否相互之间没有影响，求：
（Ⅰ）甲试跳三次，第三次才能成功的概率；
（Ⅱ）甲、乙两人在第一次试跳中至少有一人成功的概率；
（Ⅲ）甲、乙各试跳两次，甲比乙的成功次数恰好多一次的概率．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由题意知本题是一个相互独立事件，甲试跳三次，第三次才能成功的概率，表示甲前两次试跳不成功，而第三次试跳才成功，记出事件，根据相互独立事件同时发生的概率，得到结果．
（Ⅱ）甲、乙两人在第一次试跳中至少有一人成功表示甲成功且乙成功，甲不成功且乙成功，甲成功且乙不成功，三种结果，这三种事件之间是互斥关系，根据互斥事件和相互独立事件的概率，得到结果．
（Ⅲ）甲、乙各试跳两次，甲比乙的成功次数恰好多一次表示甲成功两次且乙成功一次，甲成功一次且乙成功0次，两种结果，这两种结果是互斥的，根据互斥事件的概率，得到结果．

解答：解：记“甲第i次试跳成功”为事件A₁，“乙第i次试跳成功”为事件B₁、
依题意得P（A₁）=0.7，P（B₁）=0.6，且A₁，B₁（i=1，2，3）相互独立、
（Ⅰ）“甲第三次试跳才成功”为事件

.

A1

.

A2

A₃，且三次试跳相互独立，
∴P（

.

A1

.

A2

A₃）=P（

.

A1

）P(

.

A2

)P(A3)=0.3×0.3×0.7=0.063
即甲第三次试跳才成功的概率为0.063．

（Ⅱ）甲、乙两支在第一次试跳中至少有一人成功为事件C，
解法一：C=A₁

.

B1

+

.

A1

B1+A1B1，且A1

.

B1

、

.

A1

B1、A1B1彼此互斥，
∴P（C）=P(A1•

.

B1

)+P(

.

A1

•B1)+P(A1•B1)
=P(A1)P(

.

B1

)+P(

.

A

1)P(B1)+P(A1)P(B1)
=0.7×0.4+0.3×0.6+0.7×0.6
=0.88

解法二：P（C）=1-P(

.

A1

)•P(

.

B1

)=1-0.3×0.4=0.88．
即甲、乙两人在第一次试跳中至少有一人成功的概率为0.88

（Ⅲ）设“甲在两次试跳中成功i次”为事件M_i（i=0，1，2），
“乙在两次试跳中成功i次”为事件N_i（i=0，1，2），
∵事件“甲、乙各试跳两次，甲比乙的成功次数恰好多一次”可表示为M₁N₀+M₂N₁，且M₁N₀、M₂N₁为互斥事件．
∴所求的概率为P（M₁N₀+M₂N₁）=P（M₁N₀）+P（M₂N₁）=P（M₁）P（N₀）+P（M₂）P（N₁）
=C₂¹×0.7×0.3×0.4²+0.7²×C₂¹×0.6×0.4
=0.0672+0.2352
=0.3024．
即甲、乙每人试跳两次，甲比乙的成功次数恰好多一次的概率为0.3024．

点评：本小题主要考查概率的基础知识，运用数学知识解决问题的能力，以及推理与运算能力．相互独立事件是指，两事件发生的概率互不影响，注意应用相互独立事件同时发生的概率公式．