Question

已知函数f（x）=x⁵+ax³+bx+1在x=1和x=2处取得极值．
（1）求a和b的值；
（2）求f（x）的单调区间．

Answer 1

分析：（I）利用函数的导数在极值点处的值为0，列出方程组，求出a，b的值．
（Ⅱ）将a，b的值代入导函数，令导函数大于0求出解集为递增区间；令导函数小于0，求出解集为递减区间．

解答：解：（1）因为f'（x）=5x⁴+3ax²+b，…（2分）
由已知得：f'（1）=5+3a+b=0．f'（2）=2⁴×5+2²×3a+b=0，解得a=-

25

3

，b=20． …（5分）
（2）由（1）知f'（x）=5x⁴+3ax²+b=5（x²-1）（x²-4）
=5（x+1）（x+2）（x-1）（x-2）．…（7分）
当x∈（-∞，-2）∪（-1，1）∪（2，+∞）时，f'（x）＞0；
当x∈（-2，-1）∪（1，2）时，f'（x）＜0．…（9分）
因此f（x）的单调增区间是（-∞，-2），（-1，1），（2，+∞），f（x）的单调减区间是（-2，-1），（1，2）．  …（10分）

点评：本题考查函数的极值点处的导数值为0、考查函数的单调性与导函数的符号有关：导函数大于0时，函数递增；导函数小于0时，函数递减．