【题目】已知函数,在点
处的切线方程为
.
(Ⅰ)求的值;
(Ⅱ)已知,当
时,
恒成立,求实数
的取值范围;
(Ⅲ)对于在中的任意一个常数
,是否存在正数
,使得
,请说明理由。
【答案】(1) (2)
(3)见解析
【解析】
(Ⅰ)根据导数几何意义列式可得方程组,解得的值;(Ⅱ)先化简不等式,再研究函数
最小值,利用导数易得函数
单调性,由单调性得最小值,解不等式得结果;(Ⅲ)先化简不等式,再研究函数
最小值,利用导数易得函数
单调性即得最小值
,最后再利用导数证明
.
(Ⅰ)解:函数的导数为
,在点
处的切线方程为
,可得
,
所以函数的切线方程为,即
,
所以,解得
.
(Ⅱ)证明:由(Ⅰ)可得,
因为,所以
,即为
可令,
由,
,可得
,即有
,
在
递增,
可得,所以
,故
的取值范围为
;
(Ⅲ)解:对于在中的任意一个常数
,
假设存在正数,使得:
.
由成立,
从而存在正数,使得上式成立,只需上式的最小值小于
即可.
令,
令,解得
,令
,解得
,
则为函数
的极小值,即为最小值点.
故的最小值为
,
再令
则在
递增,可得
,则
.
故存在正数,使得
.
科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】养路处建造圆锥形无底仓库用于贮藏食盐(供融化高速公路上的积雪之用),已建的仓库的底面直径为12m,高4m,养路处拟建一个更大的圆锥形仓库,以存放更多食盐,现有两种方案:一是新建的仓库的底面直径比原来大4m(高不变);二是高度增加4m(底面直径不变).
(1)分别计算按这两种方案所建的仓库的体积;
(2)分别计算按这两种方案所建的仓库的表面积;
(3)哪个方案更经济些?
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】如图,正方形ADEF与梯形ABCD所在的平面互相垂直,,
,
,
,
为
的中点.
(1)求证:BM∥平面ADEF;
(2)求证:平面BDE⊥平面BEC.
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】如图,正方形与梯形
所在的平面互相垂直,
,
,点
在线段
上.
(Ⅰ) 若点为
的中点,求证:
平面
;
(Ⅱ) 求证:平面平面
;
(Ⅲ) 当平面与平面
所成二面角的余弦值为
时,求
的长.
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】某地区有小学21所,中学14所,大学7所,现采取分层抽样的方法从这些学校中抽取6所学校对学生进行视力调查。
(I)求应从小学、中学、大学中分别抽取的学校数目。
(II)若从抽取的6所学校中随机抽取2所学校做进一步数据分析,
(1)列出所有可能的抽取结果;
(2)求抽取的2所学校均为小学的概率。
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