Question

1．过点P（4，6）引直线l分别交x，y轴正半轴于A、B两点，当△OAB面积最小时，直线l的方程是3x+2y-24=0．

Answer 1

分析 设A（a，0），B（0，b），a，b＞0，则直线l的方程为：$\frac{x}{a}+\frac{y}{b}=1$，点P（4，6）在直线l上，可得$\frac{4}{a}+\frac{6}{b}$=1，利用基本不等式的性质与三角形面积计算公式即可得出．

解答 解：设A（a，0），B（0，b），a，b＞0，则直线l的方程为：$\frac{x}{a}+\frac{y}{b}=1$，
∵点P（4，6）在直线l上，∴$\frac{4}{a}+\frac{6}{b}$=1，
∴1$≥2\sqrt{\frac{4}{a}•\frac{6}{b}}$，化为：$\frac{1}{2}ab$≥48，
∴S_△OAB=$\frac{1}{2}ab$≥48，当且仅当$\frac{4}{a}=\frac{6}{b}$，$\frac{4}{a}+\frac{6}{b}$=1时，解得a=8，b=12取等号．
∴当△OAB面积最小时，直线l的方程是$\frac{x}{8}+\frac{y}{12}$=1，即3x+2y-24=0．
故答案为：3x+2y-24=0．

点评 本题考查了基本不等式的性质与三角形面积计算公式、截距式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．