Question

数列{a_n}的前n项和为S_n，且S_n=2a_n-n，n∈N^*．
（Ⅰ）求证：{a_n+1}为等比数列；并求出数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）若b_n=

n

an+1-an

，设数列{b_n}的前n项和T_n，要使对于任意的n∈N^*都有T_n＜M恒成立，求M的最小值．

Answer 1

考点：数列的求和,等比数列的通项公式,等比关系的确定

专题：等差数列与等比数列

分析：（I）由已知条件推导出a₁=1．a_n-1=2a_n-1，由此利用构造法能证明{a_n+1}是首项为2，公比为2的等比数列，
∴an+1=2n，并能求出a_n═2ⁿ-1，n∈N^*．
（Ⅱ）bn=

n

(2n+1-1)-(2n-1)

=

n

2n+1-2n

=

n

2n

，由此利用错位相减法求出Tn=2-

1

2n-1

-

n

2n

=2-

n+2

2n

．从而能求出M的最小值．

解答： （I）证明：∵S_n=2a_n-n，n∈N^*．
∴n=1时，a₁=S₁=2a₁-1，解得a₁=1．
n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=（2a_n-n）-（2a_n-1-n+1）=2a_n-2a_n-1-1，
∴a_n-1=2a_n-1，∴a_n+1=2（a_n-1+1），
∴

an+1

an-1+1

=2，∵a₁+1=2，
∴{a_n+1}是首项为2，公比为2的等比数列，
∴an+1=2n，
∴a_n═2ⁿ-1，n∈N^*．
（Ⅱ）∵a_n═2ⁿ-1，n∈N^*，b_n=

n

an+1-an

，
∴bn=

n

(2n+1-1)-(2n-1)

=

n

2n+1-2n

=

n

2n

．
∴Tn=

1

2

+2×

1

22

+3×

1

23

+…+n×

1

2n

，①

1

2

Tn=

1

22

+2×

1

23

+3×

1

24

+…+n×

1

2n+1

②
①-②得

1

2

Tn=

1

2

+

1

22

+…+

1

2n

-

1

2n+1

．
故 

1

2

Tn=

1 2 (1- 1 2n )

1- 1 2

-

n

2n+1．

∴Tn=2-

1

2n-1

-

n

2n

=2-

n+2

2n

．
∵Tn=2-

1

2n-1

-

n

2n

=2-

n+2

2n

＜M，
∴M≥2．
∴M_min=2，即M的最小值是2．

点评：本题考查等比数列的证明，考查数列的通项公式的求法，考查实数的最小值的求法，解题时要认真审题，注意错位相减法的合理运用．