Question

已知p：|1-

x-1

3

|≤2，q：x²-2x+1-m²≤0（m＞0）．若“非p”是“非q”的必要而不充分条件，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析：思路一：“按题索骥”--解不等式，求否命题，再根据充要条件的集合表示进行求解；
思路二：本题也可以根据四种命题间的关系进行等价转换，然后再根据充要条件的集合表示进行求解．

解答：解：解法一：由p：|1-

x-1

3

|≤2，解得-2≤x≤10，
∴“非p”：A={x|x＞10或x＜-2}、（3分）
由q：x²-2x+1-m²≤0，解得1-m≤x≤1+m（m＞0）
∴“非q”：B={x|x＞1+m或x＜1-m，m＞0=（6分）
由“非p”是“非q”的必要而不充分条件可知：B⊆A.

m＞0 1-m≤-2 1+m≥10

解得m≥9．
∴满足条件的m的取值范围为{m|m≥9}．（12分）
解法二：由“非p”是“非q”的必要而不充分条件．即“非q”?“非p”，但“非p”“非q”，可以等价转换为它的逆否命题：“p?q，但qp”．即p是q的充分而不必要条件．
由|1-

x-1

3

|≤2，解得-2≤x≤10，
∴p={x|-2≤x≤10}
由x²-2x+1-m²≤0，解得1-m≤x≤1+m（m＞0）
∴q={x|1-m≤x≤1+m，m＞0}
由p是q的充分而不必要条件可知：
p⊆q?

m＞0 1-m≤-2 1+m≥10

解得m≥9．
∴满足条件的m的取值范围为{m|m≥9}．

点评：本题考查了绝对值不等式与一元二次不等式的解法，又考了命题间的关系的理解；两个知识点的简单结合构成了一道难度不太大但是要么得分不高，要么因为这道题导致整张卷子答不完，所以对于此类问题要平时加强计算能力的培养．