【题目】已知动圆与圆相切,且与圆相内切,记圆心的轨迹为曲线;设为曲线上的一个不在轴上的动点,为坐标原点,过点作的平行线交曲线于两个不同的点.
(1)求曲线的方程;
(2)试探究和的比值能否为一个常数?若能,求出这个常数,若不能,请说明理由;
(3)记的面积为,的面积为,令,求的最大值.
【答案】(1)(2)(3)
【解析】
试题分析:(1)根据两圆相切得圆心距与半径之间关系:,消去半径得,符合椭圆定义,由定义可得轨迹方程(2)探究问题,实质是计算问题,即利用坐标求和的比值:根据直线方程与椭圆方程联立方程组,利用两点间距离公式及韦达定理、弦长公式可得和的表达式,两式相比即得比值(3)因为的面积的面积,所以,利用原点到直线距离得三角形的高,而底为弦长MN(2中已求),可得面积表达式,为一个分式函数,结合变量分离法(整体代换)、基本不等式求最值
试题解析:解:(1)设圆心的坐标为,半径为,
由于动圆一圆相切,且与圆相内切,所以动圆与圆只能内切
∴
∴圆心的轨迹为以为焦点的椭圆,其中,
∴
故圆心的轨迹.
(2)设,直线,则直线,
由可得:,∴,
∴
由可得:,
∴,
∴
.
∴
∴和的比值为一个常数,这个常数为.
(3)∵,∴的面积的面积,∴,
∵到直线的距离,
∴.1
令,则,,
∵(当且仅当,即,亦即时取等号)
∴当时,取最大值.1
科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】已知抛物线: ,焦点, 为坐标原点,直线(不垂直轴)过点且与抛物线交于两点,直线与的斜率之积为.
(1)求抛物线的方程;
(2)若为线段的中点,射线交抛物线于点,求证: .
查看答案和解析>>
科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】设命题对任意实数,不等式恒成立;命题方程表示焦点在轴上的双曲线.
(1)若命题为真命题,求实数的取值范围;
(2)若命题:“”为真命题,且“”为假命题,求实数的取值范围.
查看答案和解析>>
科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】某同学用“五点法”画函数在某一个周期内的图象时,列表并填入了部分数据,如下表:
ωx+φ | 0 | π | 2π | ||
x | |||||
Asin(ωx+φ) | 0 | 5 | -5 | 0 |
(1)请将上表数据补充完整,填写在答题卡上相应位置,并直接写出函数f(x)的解析式;
(2)将图象上所有点向左平行移动个单位长度,得到的图象,求的图象离原点O最近的对称中心.
查看答案和解析>>
科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】某班50名学生在一次数学测试中,成绩全部介于50与100之间,将测试结果按如下方式分成五组:第一组[50,60),第二组[60,70),…,第五组[90,100].如图所示是按上述分组方法得到的频率分布直方图.
(Ⅰ)若成绩大于或等于60且小于80,认为合格,求该班在这次数学测试中成绩合格的人数;
(Ⅱ)从测试成绩在[50,60)∪[90,100]内的所有学生中随机抽取两名同学,设其测试成绩分别为m、n,求事件“|m﹣n|>10”概率.
查看答案和解析>>
湖北省互联网违法和不良信息举报平台 | 网上有害信息举报专区 | 电信诈骗举报专区 | 涉历史虚无主义有害信息举报专区 | 涉企侵权举报专区
违法和不良信息举报电话:027-86699610 举报邮箱:58377363@163.com