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如图,已知四棱锥P-ABCD的底面积是菱形,AC交BD于O,PO⊥平面ABC,E为AD中点,F在PA上,AP=λAF,PC∥平面BEF.
(1)求λ的值;
(2)若AB=2,∠ADB=∠BPC=60°,求三棱锥A-EFB的体积.

【答案】分析:(1)由线面平行得线线平行,利用比例关系得λ的值;
(2)利用等积法把三棱锥A-EFB的体积转化为求三棱锥F-ABE的体积.
解答:解:(1)设AO交BE于G,连接FG.
因为O,E分别是BD、AD的中点,所以
因为PC∥平面BEF,所以GF∥PC
所以.即λ=3
(2)因为∠BPD=60°,PO⊥平面ABC,所以
故点F到平面ABC的距离为
所以
故三棱锥A-EFB的体积为
点评:本题主要考查了线面平行的性质,几何体体积的求法.
练习册系列答案
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科目:高中数学 来源: 题型:

如图:已知四棱锥P-ABCD中,PD⊥平面ABCD,ABCD是正方形,E是PA的中点,
求证:
(1)PC∥平面EBD.
(2)平面PBC⊥平面PCD.

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科目:高中数学 来源: 题型:

如图,已知四棱锥P-ABCD,底面ABCD为菱形,PA⊥平面ABCD,∠ABC=60°,E、F分别是BC、PC的中点.
(1)证明:AE⊥PD;
(2)设AB=2,若H为线段PD上的动点,EH与平面PAD所成的最大角的正切值为
6
2
,求AP的长度.

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科目:高中数学 来源: 题型:

如图,已知四棱锥P-ABCD的底面为菱形,∠BCD=60°,PD⊥AD.点E是BC边上的中点.
(1)求证:AD⊥面PDE;
(2)若二面角P-AD-C的大小等于60°,且AB=4,PD=
8
3
3
;①求VP-ABED; ②求二面角P-AB-C大小.

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科目:高中数学 来源: 题型:

(2012•崇明县二模)如图,已知四棱锥P-ABCD的底面ABCD为正方形,PA⊥平面ABCD,E、F分别是BC,PC的中点,AB=2,AP=2.
(1)求证:BD⊥平面PAC;
(2)求二面角E-AF-C的大小.

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科目:高中数学 来源: 题型:

(2012•吉林二模)如图,已知四棱锥P-ABCD的底面是正方形,PA⊥面ABCD,且PA=AD=2,点M,N分别在PD,PC上,
PN
=
1
2
NC
,PM=MD.
(Ⅰ) 求证:PC⊥面AMN;
(Ⅱ)求二面角B-AN-M的余弦值.

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