Question

在△ABC中，a+b=10，cosC是方程2x²-3x-2=0的一个根，
求①角C的度数，
②△ABC周长的最小值．

Answer 1

分析：①由cosC是方程2x²-3x-2=0的一个根可求cosC=-

1

2

，在△ABC中可求C
②由余弦定理可得：c2=a2+b2-2ab•(-

1

2

)=(a+b)2-ab，由a=5时，及c最小且可求，进而可求△ABC周长的最小值

解答：解：①∵2x²-3x-2=0∴x1=2，x2=-

1

2

…（2分）
又∵cosC是方程2x²-3x-2=0的一个根∴cosC=-

1

2

，
在△ABC中∴C=120度…（7分）
②由余弦定理可得：c2=a2+b2-2ab•(-

1

2

)=(a+b)2-ab
即：c²=100-a（10-a）=（a-5）²+75…（10分）
当a=5时，c最小且c=

75

=5

3

此时a+b+c=10+5

3

…（12分）
∴△ABC周长的最小值为10+5

3

…（14分）

点评：本题主要考查了三角形中由三角函数值求解角，余弦定理的应用，属于公式的简单运用，属于基础试题