Question

【题目】如图1，四边形ABCD中，AB∥CD，AD⊥AB，AB=2CD=4，AD=2，过点C作CO⊥AB，垂足为O，将△OBC沿CO折起，如图2使得平面CBO与平面AOCD所成的二面角的大小为θ（0＜θ＜π），E，F分别为BC，AO的中点
（1）求证：EF∥平面ABD
（2）若θ= ，求二面角F﹣BD﹣O的余弦值．

Answer 1

【答案】
（1）证明：过点E作EH∥BD，交CD于点H，连结HF，

则H为CD中点，∴HF∥AD

∵AD平面ABD，HF平面ABD，

∴HF∥平面ABD，

同理，EH∥平面ABD，

∵EH∩HF=H，∴平面EHF∥平面ABD，

∵EF平面EHF，∴EF∥平面ABD

（2）解：由题得平面CBO与平面AOCD所成二面角的平面角为∠BOA=θ，

连结BF，∵θ= ，OB=2，OF=1，∴BF⊥AO，

以点F为坐标原点，以FO，FH，FB分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，

则F（0，0，0），B（0，0， ），D（﹣1，2，0），O（1，0，0），

设平面FBD的法向量 =（x，y，z），

则 ，取x=2，解得 =（2，﹣1，0）

同理得平面BDO的一个法向量 =（ ，1），

设二面角F﹣BD﹣O的平面角为α，

cosα= = = ，

∴二面角F﹣BD﹣O的余弦值为 ．

【解析】（1）过点E作EH∥BD，交CD于点H，连结HF，推导出平面EHF∥平面ABD，由此能证明EF∥平面ABD．（2）由题得平面CBO与平面AOCD所成二面角的平面角为∠BOA=θ，连结BF，以点F为坐标原点，以FO，FH，FB分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角F﹣BD﹣O的余弦值．
【考点精析】掌握直线与平面平行的判定是解答本题的根本，需要知道平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行；简记为：线线平行，则线面平行．