Question

已知边长为6的正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁，E，F为AD、CD上靠近D的三等分点，H为BB₁上靠近B的三等分点，G是EF的中点．
（1）求A₁H与平面EFH所成角的正弦值；
（2）设点P在线段GH上，

GP

GH

=λ，试确定λ的值，使得二面角P-C₁B₁-A₁的余弦值为

10

10

．

Answer 1

分析：（1）由题意建立坐标系，求出平面EFH的法向量，利用对应向量的数量积求出线面角的余弦值，再求其正弦值；
（2）由题意先求出P点的坐标，确定面A₁B₁C₁的法向量、面PC₁B₁的法向量，利用向量的夹角公式，即可求得结论．

解答：解：由题意，以D₁为坐标原点，A₁D₁，D₁C₁，DD₁为x，y，z轴建立直角坐标系，可得E（2，0，6），F（0，2，6），H（6，6，4），A₁（6，0，0）．
（1）设平面EFH的法向量

n

=（1，x，y），
∵

EF

=（-2，2，0），

EH

=（4，6，-2）
∴由

n • EH =0 n • EF =0

，可得

-2+2x=0 4+6x-2y=0

∴可取

n

=（1，1，5）；
∵

A1H

=（0，6，4），
∴cos＜

n

，

A1H

＞=

n • A1H

| n || A1H |

=

26

27 • 52

=

39

9

∴求A₁H与平面EFH所成角的正弦值为

39

9

；
（2）由题意知，G（1，1，6），C₁（0，6，0），

GH

=（5，5，-2），
∵

GP

GH

=λ，∴

GP

=λ

GH

=（5λ，5λ，-2λ），解得P（5λ+1，5λ+1，-2λ+6），
已知面A₁B₁C₁的法向量为

D1D

=（0，0，6）
设面PC₁B₁的法向量为

m

=（p，q，r），
∵

PC1

=（5λ+1，5λ-5，-2λ+6），

C1D1

=（6，0，0）
∴

(5λ+1)p+(5λ-5)q+(-2λ+6)r=0 6p=0

∴可取

m

=（0，2λ-6，5λ-5）
∵二面角P-C₁B₁-A₁的余弦值为

10

10

，
∴|cos＜

D1D

，

m

＞|=|

D1D • m

| D1D || m |

|=|

6(5λ-5)

6 (5λ-5)2+(2λ-6)2

|=

10

10

∴λ=

9

13

．

点评：本题用向量法求线面角、面面角的问题，考查学生的计算能力，属于中档题．