Question

设{a_n}是公差大于零的等差数列，已知a₁=2，a₃=a₂²-10．
（Ⅰ）求{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）设{b_n}是以函数y=4sin²πx的最小正周期为首项，以3为公比的等比数列，求数列{a_n-b_n}的前n项和S_n．

Answer 1

分析：（Ⅰ）等差数列中，由a₁=2，a3=a22-10，利用等差数列的通项公式列出方程组，求出公差，由此能求出{a_n}的通项公式．
（Ⅱ）由y=4sin²πx=4×

1-cos2πx

2

=-2cos2πx+2，其最小正周期为

2π

2π

=1，故首项为1，由公比q=3，知bn=3n-1，由此能求出数列{a_n-b_n}的前n项和S_n．

解答：解：（Ⅰ）设数列{a_n}的公差为d，
则

a1=2 a1+2d=(a1+d)2-10

，
解得d=2或d=-4（舍），
∴a_n=2+（n-1）×2=2n．
（Ⅱ）∵y=4sin²πx=4×

1-cos2πx

2

=-2cos2πx+2，
其最小正周期为

2π

2π

=1，
故首项为1，
∵公比q=3，∴bn=3n-1，
∴a_n-b_n=2n-3^n-1，
∴Sn=(2-30)+(4-31)+…+(2n-3n-1)
=

(2+2n)n

2

-

1-3n

1-3

=n²+n+

1

2

-

1

2

•3ⁿ．

点评：本题考查数列的通项公式和前n项和公式的求法，解题时要认真审题，仔细解答，注意等价转化思想的合理运用．