Question

已知抛物线C的顶点为坐标原点，椭圆C′的对称轴是坐标轴，抛物线C在x轴上的焦点恰好是椭圆C′的焦点
（Ⅰ）若抛物线C和椭圆C′都经过点M（1，2），求抛物线C和椭圆C′的方程；
（Ⅱ）已知动直线l过点p（3，0），交抛物线C于A，B两点，直线l′：x=2被以AP为直径的圆截得的弦长为定值，求抛物线C的方程；
（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，分别过A，B的抛物线C的两条切线的交点E的轨迹为D，直线AB与轨迹D交于点F，求|EF|的最小值．

Answer 1

分析：（I）通过待定系数法求抛物线的方程；再求出其焦点，求出椭圆的焦点；利用椭圆的定义求出椭圆方程．
（II）设出点A的坐标，求出以AP为直径的圆的半径，求出圆心到直线的距离；利用圆心到直线的距离、半径、弦长的一半构成直角三角形得到勾股定理，表示出弦长；据弦长是定值，令未知数的系数为0，求出抛物线方程．
（III）求出两条切线的方程及直线AB的方程，表示出EF的长度，求出值．

解答：解：（I）设抛物线C的方程为：y²=2px，
抛物线C经过点M（1，2）则2²=2p×1
∴抛物线C的方程为：y²=4x其焦点为F₂（1，0）
故可设椭圆C′的焦点为F₁（1，0）和F₂（1，0），
2a=|MF₁|+|MF₃|=2

2

+2
∴b²=（

2

+1）²-1²=2+2

2

∴椭圆C′的方程为：

x2

3+2 2

+

y2

2+2 2

=1（3分）
（II）设A（2pt²，2pt）则AP的中点Q（pt²+

3

2

，pt），
以AP为直径的圆的半径为r
r²=（pt²-

3

2

）²+（pt）²，
设Q（pt²+

3

2

，pt）到直线l′：x=2的距离为d
则d=|pt²+

3

2

-2|=|pt²-

1

2

|
设直线l′：x=2被以AP为直径的圆截得的弦为MN，则：
(

|MN|

2

)2=r²-d²=（pt²-

3

2

）²+（pt）²-（pt²-

1

2

）²=（p²-2p）t²+2
由于|MN|为定值，所以p²-2p=0所以p=2
∴抛物线C的方程为：y²=4x（8分）
（III）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）
利用导数法或判别式法可求得AE，BE的方程分别为
AE：y1y=2（x₁+x），BE：y₂y=2（x₂+x）若E（x₀，y₀）则
y₁y₀=2（x₁+x₀），y₂y₀=2（x₂+x₀）故AB：y₀y=2（x₀+x）
又因为AB过点P（3，0），所以y₀×0=2（x₀+3）所以x₀=-3
即E的轨迹为D的方程为x=-3，交AB：y₀y=2（x₀+x）于点F（-3，-

12

y0

）
|EF|=|y₀-（-

12

y0

）|=|y₀+

12

y0

|≥2

y0• 12 y0

=4

3

；
当且仅当y₀=

12

y0

即y₀=±2

3

时取等号；
所以|EF|的最小值为4

3

．（13分）

点评：本题考查待定系数法求轨迹方程、圆锥曲线的定义、解决直线与圆锥曲线的位置关系常用的处理方法是联立方程研究方程组、考查曲线的切线的求法．