Question

设函数f（x）的定义域为R，如果存在函数g（x）=ax（a为常数），使得f（x）≥g（x）对于一切实数x都成立，那么称g（x）为函数f（x）的一个承托函数．已知对于任意k∈（0，1），g（x）=ax是函数f（x）=e

x

k

的一个承托函数，记实数a的取值范围为集合M，则有（　　）

A．e^-1?M，e?M

B．e^-1?M，e∈M

C．e^-1∈M，e?M

D．e^-1∈M，e∈M

Answer 1

分析：函数g（x）=ax（a为常数）是函数f（x）的一个承托函数，即说明函数f（x）的图象恒在函数g（x）的上方（至多有一个交点），根据函数，再分离参数，确定函数的单调性，求最值，即可得到结论．

解答：解：令F（x）=e

x

k

-ax，则F（x）=e

x

k

-ax≥0对于任意k∈（0，1）恒成立
由题意，x＞0时，a≤

e x k

x

，x＜0时，a≥

e x k

x

，
下面考虑a≤

e x k

x

，令h（x）=

e x k

x

，则h′（x）=

( x k -1)e x k

x2

由h′（x）＜0得x＜k，由h′（x）＞0得x＞k，
所以h（x）在（0，k）上单调递减，在（k，+∞）上单调递增，
所以当x=k时h（x）取得最小值h（k）=

e

k

，
∴a≤

e

k

∵k∈（0，1），
∴a＜e
x＜0时，h′（x）＜0，h（x）在（-∞，0）上单调递减，∴a≥0，
∴0＜a＜e
∴e^-1∈M，e∉M
故选C．

点评：本题考查新定义，考查函数恒成立问题，考查分析问题解决问题的能力，对于恒成立问题往往转化为函数最值问题处理．