精英家教网 > 高中数学 > 题目详情

设直线系M:xcosθ+(y-2)sinθ=1(0≤θ≤2π),对于下列四个结论:
(1)当直线垂直y轴时,θ=0或π;
(2)当数学公式时,直线的倾斜角为120°;
(3)M中所有直线均经过一个定点;
(4)存在定点P不在M中的任意一条直线上.
其中正确的是________(写出所有正确的代号)

解:直线系M:xcosθ+(y-2)sinθ=1(0≤θ≤2π),即xcosθ+ysinθ-2sinθ-1=0,
(1)当直线垂直y轴时,斜率=0,即cosθ=0,可得 θ=,或 θ=,故(1)不正确.
(2)当时,直线的斜率等于=-,故直线的倾斜角为120°,故(2)正确.
(3)验证发现,直线系M:xcosθ+(y-2)sinθ=1(0≤θ≤2π)表示圆x2+(y-2)2=1的切线的集合,
不会经过定点,故(3)不正确.
(4)存在定点P不在M中的任一条直线上,观察知点P(0,2)即符合条件,故(4)正确.
故答案为 (2)(4).
分析:(1)当直线垂直y轴时,斜率=0,可得θ 的值,从而得到(1)不正确.
(2)当时,求出直线的斜率,从而求出倾斜角为120°,故(2)正确.
(3)验证发现,直线系M:xcosθ+(y-2)sinθ=1(0≤θ≤2π)表示圆x2+(y-2)2=1的切线的集合,不会经过定点,
可得(3)不正确.
(4)存在定点P(0,2 )不在M中的任一条直线上,可得(4)正确.
点评:本题考查直线系方程的应用,依据直线系M表示圆 x2+(y-2)2=1 的切线的集合,本题易因为观察不知直线系所具有的几何特征而导致后两个命题的真假无法判断,对问题进行深入分析是发现其意义的捷径,属于中档题.
练习册系列答案
相关习题

科目:高中数学 来源: 题型:

设直线系M:xcosθ+(y-2)sinθ=1(0≤θ≤2π),对于下列四个命题:A、存在一个圆与所有直线相交;B、存在一个圆与所有直线不相交;C、存在一个圆与所有直线相切;D、M中的直线所能围成的正三角形面积都相等
其中真命题的代号是
 
(写出所有真命题的代号).

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源: 题型:

设直线系M:xcosθ+(y-2)sinθ=1(0≤θ≤2π),对于下列四个命题:
(1)M中所有直线均经过一个定点;
(2)存在定点P不在M中的任一条直线上;
(3)对于任意正整数n(n≥3),存在正n边形,其所有边均在M中的直线上;
(4)M中的直线所能围成的正三角形面积都相等.
其中真命题的序号是
 

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源: 题型:

设直线系M:xcosθ+(y-2)sinθ=1(0≤θ≤2π),对于下列四个结论:
(1)当直线垂直y轴时,θ=0或π;
(2)当θ=
π6
时,直线的倾斜角为120°;
(3)M中所有直线均经过一个定点;
(4)存在定点P不在M中的任意一条直线上.
其中正确的是
(2)(4)
(2)(4)
(写出所有正确的代号)

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源: 题型:

设直线系M:xcosθ+(y-2)sinθ=1(0≤θ≤2π),则下列命题中是真命题的个数是(  )
①存在一个圆与所有直线相交②存在一个圆与所有直线不相交;
③存在一个圆与所有直线相切④M中所有直线均经过一个定点;
⑤不存在定点P不在M中的任一条直线上;
⑥对于任意整数n(n≥3),存在正n边形,其所有边均在M中的直线上;
⑦M中的直线所能围成的正三角形面积都相等.
A、3B、4C、5D、6

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源: 题型:

已知圆Mx2+y2-2tx-6t-10=0,椭圆C:
x2
a2
+
y2
b2
=1
(a>b>0),若椭圆C与x轴的交点A(5,y0)到其右准线的距离为
10
3
;点A在圆M外,且圆M上的点和点A的最大距离与最小距离之差为2.
(1)求圆M的方程和椭圆C的方程;
(2)设点P为椭圆C上任意一点,自点P向圆M引切线,切点分别为A、B,请试着去求
P
A•
P
B
的取值范围;
(3)设直线系M:xcosθ+(y-3)sinθ=1(θ∈R);求证:直线系M中的任意一条直线l恒与定圆相切,并直接写出三边都在直线系M中的直线上的所有可能的等腰直角三角形的面积.

查看答案和解析>>

同步练习册答案