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(本小题满分13分)

        如图,已知四棱柱ABCD—A1B1C1D1中,A1D⊥底面ABCD,底面ABCD是边长为1的正方形,侧棱AA1=2。

   (I)求证:C1D//平面ABB1A1

   (II)求直线BD1与平面A1C1D所成角的正弦值;

   (Ⅲ)求二面角D—A1C1—A的余弦值。

 

【答案】

(1)略(2)(3)

【解析】(I)证明:四棱柱ABCD—A1B1C1D1中,BB1//CC1

面ABB1A1,所以CC1//平面ABB1A1,                    …………2分

ABCD是正方形,所以CD//AB,

又CD面ABB1A1,所以CD//平面ABB1A1,                        …………3分

所以平面CDD1C1//平面ABB1A1

所以C1D//平面ABB1A1                                                           …………4分

   (II)解:ABCD是正方形,AD⊥CD

因为A1D⊥平面ABCD,

所以A1D⊥AD,A1D⊥CD,

如图,以D为原点建立空间直角坐标系D—xyz,                   …………5分

中,由已知可得

所以

             …………6分

因为A1D⊥平面ABCD,

所以A1D⊥平面A1B1C1D1[来源:学。科。网]

A1D⊥B1D1

又B1D1⊥A1C1

所以B1D1⊥平面A1C1D,                                                       …………7分

所以平面A1­C1D的一个法向量为n=(1,1,0)                     …………8分

与n所成的角为

                                   …………9分

所以直线BD1与平面A1C1D所成角的正弦值为                  …………10分

   (III)解:平面A1C1A的法向量为

所以

可得                                                 …………12分

设二面角D—A1C1—A的大小为a,

所以二面角的余弦值为   …………13分

 

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