Question

已知向量

OA

=（λcosα，λsinα）（λ≠0），

OB

=（-sinβ，cosβ），其中O为坐标原点，若任意实数α，β，使得|

BA

|≥2|

OB

|成立，则实数λ的取值范围是

（-∞，-3]∪[3，+∞）

．

Answer 1

分析：根据

OA

、

OB

的坐标算出向量

BA

的坐标，将不等式|

BA

|≥2|

OB

|转化成关于关于α、β、λ的不等式，化简整理得λ²+2λsin（β-α）-3≥0，利用|sin（β-α）|≤1和二次函数的性质加以计算，即可得到实数λ的取值范围．

解答：解：根据题意，可得
∵A（λcosα，λsinα），B（-sinβ，cosβ），
∴

BA

=（λcosα+sinβ，λsinα-cosβ），
∵|

BA

|≥2|

OB

|恒成立，
∴代入坐标，可得（λcosα+sinβ）（λcosα+sinβ）+（λsinα-cosβ）（λsinα-cosβ）≥4，
化简得λ²+1+2λcosαsinβ-2λsinαcosβ≥4，即λ²+2λsin（β-α）-3≥0，
∵|sin（β-α）|≤1，∴λ²+2λ-3≥0且λ²-2λ-3≥0，
解此不等式，可得

λ≤-3或λ≥1 λ≤-1或λ≥3

，化简得λ≤-3或λ≥3．
即实数λ的取值范围是（-∞，-3]∪[3，+∞）．
故答案为：（-∞，-3]∪[3，+∞）

点评：本题给出向量含有三角函数式的坐标，求解向量不等式恒成立的问题．着重考查了向量的坐标运算、求向量的长度、两角差的正弦公式和二次函数的性质等知识，属于中档题．