Question

14．已知f（x）是定义在（0，+∞）上的函数，且对任意正数x，y都有f（xy）=f（x）+f（y），且当x＞1时，f（x）＞0，f（3）=1．
（Ⅰ）集合A={x|f（x）＞f（x-1）+2}，B={x|f（$\frac{（a+1）x-1}{x+1}$）＞0}，且满足A∩B=∅，求正实数a的取值范围；
（Ⅱ）设a＜b，比较f（$\frac{{e}^{a}+{e}^{b}}{2}$）与f（$\frac{{e}^{b}-{e}^{a}}{b-a}$）的大小，并说明理由．

Answer 1

分析 （Ⅰ）先证明函数的单调性，在分别求出集合A，B，根据A∩B=∅，求正实数a的取值范围；
（Ⅱ）首先判断$\frac{{e}^{a}+{e}^{b}}{2}$-$\frac{{e}^{b}-{e}^{a}}{b-a}$的正负情况，利用构造函数得出g（x）=x+2+（x-2）e^x，根据导函数，判断函数的单调性，从而得出上述表达式的正负，利用单调性得出函数值的大小．

解答 解：（Ⅰ）设0＜x₁＜x₂＜+∞，则由条件“对任意正数x，x都有f（xy）=f（x）+f（y）”，
可知：f（x₂）=f（ $\frac{{x}_{2}}{{x}_{1}}$．x₁）=f（ $\frac{{x}_{2}}{{x}_{1}}$）+f（x₁），
∵$\frac{{x}_{2}}{{x}_{1}}$＞1
∴由已知条件f（ $\frac{{x}_{2}}{{x}_{1}}$）＞0，
∴f（x₂）-f（x₁）=f（ $\frac{{x}_{2}}{{x}_{1}}$）＞0即f（x₂）＞f（x₁），
因此f（x）在（0，+∞）上为增函数；
∵f（3）=1，
∴f（9）=2，
∴f（x）＞f（x-1）+2，
∴f（x）＞f（9x-9），
∴x＞9x-9，x＞0，x-1＞0，
∴A=（1，$\frac{9}{8}$），
令x=y=1，得f（1）=0，
∵f（$\frac{（a+1）x-1}{x+1}$）＞0=f（1），
∴f（$\frac{（a+1）x-1}{x+1}$）＞1，
∴$\frac{ax-2}{x+1}$＞0，
∴B=（-∞，-1）∪（$\frac{2}{a}$，+∞），
∵A∩B=∅，
∴$\frac{2}{a}$≥$\frac{9}{8}$，
∴0＜a≤$\frac{16}{9}$；
（Ⅱ）$\frac{{e}^{a}+{e}^{b}}{2}$-$\frac{{e}^{b}-{e}^{a}}{b-a}$=$\frac{（b-a+2）+（b-a-2）{e}^{b-a}}{2（b-a）}{e}^{a}$，
令b-a=x，g（x）=x+2+（x-2）e^x，x＞0，
∴g'（x）=1+（x-1）e^x，
令h（x）=g'（x）=1+（x-1）e^x，
∴h'（x）=xe^x＞0，
∴g'（x）在（0，+∞）上递增，g'（0）=0，
∴g'（x）＞g（0）=0，
∴g（x）在（0，+∞）上递增，g（0）=0，
∴g（x）＞g（0）=0，
∵b-a＞0，
∴$\frac{{e}^{a}+{e}^{b}}{2}$-$\frac{{e}^{b}-{e}^{a}}{b-a}$=$\frac{（b-a+2）+（b-a-2）{e}^{b-a}}{2（b-a）}{e}^{a}$＞0，
∴$\frac{{e}^{a}+{e}^{b}}{2}$＞$\frac{{e}^{b}-{e}^{a}}{b-a}$，
∴f（$\frac{{e}^{a}+{e}^{b}}{2}$）＞f（$\frac{{e}^{b}-{e}^{a}}{b-a}$）．

点评 考查了抽象函数的单调性判断，利用函数单调性，利用定义法求解实际问题，利用导函数判断函数的单调性问题．