【题目】定义集合与集合之差是由所有属于且不属于的元素组成的集合,记作 且.已知集合.
(Ⅰ)若集合,写出集合的所有元素;
(Ⅱ)从集合选出10个元素由小到大构成等差数列,其中公差的最大值和最小值分别是多少?公差为和的等差数列各有多少个?
(Ⅲ)设集合,且集合中含有10个元素,证明:集合中必有10个元素组成等差数列.
【答案】(Ⅰ)2,4,8,16,32,64;(Ⅱ)只有1个,d=1有91个;(Ⅲ)见解析
【解析】
(Ⅰ)根据题意,分析集合T的元素,结合M﹣N的含义分析可得答案;(Ⅱ)根据题意,由等差数列的性质分析公差的最大、最小值,据此分析等差数列的数目,相加即可得答案;(Ⅲ)根据题意,将集合S中元素列表,据此分析集合集合S﹣A中的元素,由反证法分析可得结论.
(Ⅰ)根据题意,集合 , ;
则;
则集合 的所有元素是: 2,4,8,16,32,64;
(Ⅱ)当首项是1,末项是100时,公差最大为11,即 .
这样的数列只有1个:1,12,23,34,45,56,67,78,89,100;
当选取的10个数是连续自然数时,公差最小为1,即d=1.
这样的数列首项可以是1,2,3,…,91中的任何一个,
因此共有91个公差为1的等差数列;
(Ⅲ)将集合中元素列表如下:
1 | 2 | 3 | … | 10 |
11 | 12 | 13 | … | 20 |
21 | 22 | 23 | … | 30 |
┆ | ┆ | ┆ | ┆ | ┆ |
91 | 92 | 93 | … | 100 |
表中各行或各列的十个数分别构成等差数列.
假设存在含有10个元素的集合,使得 中不含10个元素组成的等差数列.
显然每连续10个元素中必有集合中的唯一一个元素,即表的每行、每列中必有集合中的唯一一个元素.
记表中第行第列的数为.
若第 行中集合A的唯一元素为 ,则第行中, ,… 中必有集合A中元素.
若第行的第一个数在集合中,则此行余下九个数和下一行第一个数可以组成等差数列,与假设矛盾.
因此,第一列中集合的唯一元素只可能在第十行.
同理,若第行的第二个数在集合中,则此行余下八个数和下一行前两个数可以组成等差数列,与假设矛盾.
因此,第二列中集合的唯一元素只可能在第九行.
依此类推,得 .
此时,另一条对角线上的十个元素构成等差数列,与假设矛盾.
综上,原命题成立.
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【题目】已知椭圆的离心率为,右焦点为,以原点为圆心,椭圆的短半轴长为半径的圆与直线相切.
(1)求椭圆的方程;
(2)如图,过定点的直线交椭圆于两点,连接并延长交于,求证:.
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【题目】用0,1,2,3,4,5这六个数字组成无重复数字的四位数.
(1)在组成的四位数中,求所有偶数的个数;
(2)在组成的四位数中,求比2430大的个数.
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【题目】已知椭圆 : ( )的离心率 ,直线 被以椭圆 的短轴为直径的圆截得的弦长为 .
(1)求椭圆 的方程;
(2)过点 的直线 交椭圆于 , 两个不同的点,且 ,求 的取值范围.
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【题目】将一枚质地均匀的硬币向上抛掷三次,下列两个事件中,是对立事件的是( )
A.事件:“恰有两次正面向上”,事件:“恰有两次反面向上”
B.事件:“恰有两次正面向上”,事件:“恰有一次正面向上”
C.事件:“至少有一次正面向上”,事件:“至多一次正面向上”
D.事件:“至少有一次正面向上”,事件:“恰有三次反面向上”
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【题目】椭圆C:(a>b>0)的左、右焦点分别为,离心率为,过焦点且垂直于x轴的直线被椭圆C截得的线段长为1.
(Ⅰ)求椭圆C的方程;
(Ⅱ)已知点M(0,-1),直线l经过点N(2,1)且与椭圆C相交于A,B两点(异于点M),记直线MA的斜率为,直线MB的斜率为,证明 为定值,并求出该定值.
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【题目】在平面直角坐标系中,曲线过点,其参数方程为(为参数, ),以为极点, 轴非负半轴为极轴,建立极坐标系,曲线的极坐标方程为.
(1)求曲线的普通方程和曲线的直角坐标方程;
(2)求已知曲线和曲线交于两点,且,求实数的值.
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【题目】如图1,矩形中,,是边上异于端点的动点,,将矩形沿折叠至处,使面(如图2).点满足,.
(1)证明:;
(2)设,当为何值时,四面体的体积最大,并求出最大值.
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