解:由已知得切点(1,3),f′(x)=3ax
2-2bx+9
(1)由题意可
解得
f(x)=4x
3-12x
2+9x+2f′(x)=12x
2-24x+9,
f′(x)=0得x=
或
,f′(x)>0得x>
x<
,
f′(x)<0
<x<
,f(x)的单调增区间(
,+∞),(-∞,
),
f(x)的单调减区间(
,
)
(2)由(1)可f(x)的极大值f(
)=2,
f(
)=
f(2)=∴f(x)[
,2]上的最小值2,
f(x)≥t
2-2t-1x∈[
,2]上恒成立,t
2-2t-1≤2,t
2-2t-3≤0,
解-1≤t≤3,g(x)=t
2+t-2,
故t=
时g(t)最小值-
,t=3时g(t)最大值为10.
分析:(1)先求导数f'(x)<0,以及导数的几何意义知在x=1处的导数等于切线的斜率,切点在函数f(x)的图象上,建立方程组,解之即可求出函数f(x)的解析式.再根据f′(x)>0求得的区间是单调增区间,f′(x)<0求得的区间是单调减区间.
(2)先由(1)可f(x)的极大值,及f(x)[
,2]上的最小值2,f(x)≥t
2-2t-1,x∈[
,2]上恒成立,求得t的取值范围,最后利用二次函数在某区间上的最值问题,求得g(t)最值.
点评:本题主要考查了利用导数研究曲线上某点切线方程,以及导数在最大值、最小值问题中的应用等基础题知识,考查学生利用导数研究函数单调性的能力.利用导数研究函数极值的能力,函数恒成立的条件.