Question

5．设常数a∈R，集合A={x|（x-1）（x-a）≥0}，B={x|x≥a-1}．
（1）若0∈A∩B，求a的取值范围；
（2）若A∪B=R，求a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）由0∈A∩B，得到0属于A且0属于B，列出不等式组，求出解集即可确定出a的范围；
（2）分类讨论a的范围，表示出A中不等式的解集，根据A与B的并集为R，求出a的范围即可．

解答 解：（1）∵0∈A∩B，
∴0∈A且0∈B，
∴$\left\{\begin{array}{l}-（-a）≥0\\ 0≥a-1\end{array}\right.$，
解得0≤a≤1，
则a的取值范围为[0，1]；
（2）当a≥1时，A={x|x≤1或x≥a}，B={x|x≥a-1}，
∵A∪B=R，
∴a-1≤1，即1≤a≤2满足条件；
当a＜1时，A={x|x≤a，或x≥1}，B={x|x≥a-1}，
∵a-1＜a，
∴A∪B=R成立，即a＜1满足条件，
综上知a的取值范围为（-∞，2]．

点评 此题考查了并集及其运算，熟练掌握并集的定义是解本题的关键．