Question

【题目】数列{an}中，an+2﹣2an+1+an=1（n∈N*），a1=1，a2=3．．
（1）求证：{an+1﹣an}是等差数列；
（2）求数列{ }的前n项和Sn ．

Answer 1

【答案】
（1）证明：令cn=an+1﹣an，

则cn+1﹣cn=（an+2﹣an+1）﹣（an+1﹣an）=an+2﹣2an+1+an=1（常数），

c1=a2﹣a1，=2，

故{an+1﹣an}是以2为首项，1为公差的等差数列

（2）解：由（1）知cn=n+1，即an+1﹣an=n+1，

于是an=（an﹣an﹣1）﹣（an﹣1﹣an﹣2）+…+（a2﹣a1）+a1=

=n+（n﹣1）+…+2+1= ，

故 = =2（ ﹣ ）．

∴Sn=2（1﹣ ）+2（ ﹣ ）+2（ ﹣）+…+2（ ﹣ ）

=2（1﹣ ）

=

【解析】（1）令cn=an+1﹣an ， 通过cn+1﹣cn=1，说明{an+1﹣an}是以2为首项，1为公差的等差数列．（2）由（1）知cn=n+1，求出an ， 化简 = =2（ ﹣ ）．利用裂项求和求解即可．
【考点精析】本题主要考查了数列的前n项和的相关知识点，需要掌握数列{an}的前n项和sn与通项an的关系才能正确解答此题．