Question

在直角坐标平面xoy上 的一列点A₁（1，a₁），A₂（2，a₂），…，A_n（n，a_n），…，简记为{A_n}．若由bn=

AnAn+1

•

j

构成的数列{b_n}满足b_n+1＞b_n（其中

j

是y轴正方向同向的单位向量），则称{A_n}为T点列．
（1）判断A1(1，1)，A2(2，

1

2

)，A3(3，

1

3

)…，An(n，

1

n

)，…是否为T点列；
（2）若{a_n}是等差数列，判断点列A₁（1，a₁），A₂（2，a₂），…，A_n（n，a_n），…是否为T点列，并说明理由；
若{a_n}是等比数列，判断点列A₁（1，a₁），A₂（2，a₂），…，A_n（n，a_n），…是否为T点列，并说明理由；
（3）若{A_n}为T点列，且点A₂在点A₁的右上方，任取其中连续三点A_K，A_K+1，A_K+2，判断△A_KA_K+1A_K+2的形状（锐角三角形，直角三角形，钝角三角形），并说明理由．

Answer 1

分析：（1）根据所给的n个点的坐标，求得b_n=

AnAn+1

•

j

=-

1

n(n+1)

，再验证数列{b_n}是否满足满足b_n+1＞b_n，即可得到结论．
（2）设等差数列的公差为d，根据A_n（n，a_n），A_n+1（n+1，a_n+1），求得b_n=

AnAn+1

•

j

=d即可判断；设等比数列的公比为q，根据A_n（n，a_n），A_n+1（n+1，a_n+1），可得b_n=

AnAn+1

•

j

=a_n+1-a_n，从而可得结论；
（3）用所给的三个点构造三个向量，写出三个向量的坐标，问题转化为向量夹角的大小问题，判断出两个向量的数量积小于零，得到两个向量所成的角是钝角，得到结果．

解答：解：（1）∵A_n（n，

1

n

），A_n+1（n+1，

1

n+1

），
∴

AnAn+1

=（1，-

1

n(n+1)

），
又∵

j

=（0，1），∴b_n=

AnAn+1

•

j

=-

1

n(n+1)

，
∴b_n+1=-

1

(n+1)(n+2)

，∴b_n+1-b_n=

2

n(n+1)(n+2)

∴b_n+1＞b_n，∴{A_n}是T点列；
（2）设等差数列的公差为d
∵A_n（n，a_n），A_n+1（n+1，a_n+1），
∴

AnAn+1

=（1，a_n+1-a_n）=（1，d），
又∵

j

=（0，1），∴b_n=

AnAn+1

•

j

=d，∴{A_n}不是T点列；
设等比数列的公比为q，
∵A_n（n，a_n），A_n+1（n+1，a_n+1），
∴

AnAn+1

=（1，a_n+1-a_n），
又∵

j

=（0，1），∴b_n=

AnAn+1

•

j

=a_n+1-a_n，
∴b_n+1=a_n+2-a_n+1=qb_n，
∴q＞1时，b_n+1＞b_n，∴{{A_n}是T点列；q≤1时，b_n+1≤b_n，∴{{A_n}不是T点列；
（3）在△A_KA_K+1A_K+2中，A_k+1A_k=（-1，a_k-a_k+1），A_k+1A_k+2=（1，a_k+2-a_k+1），
A_k+1A_k•A_k+1A_k+2=-1+（a_k+2-a_k+1）（a_k-a_k+1）
∵点A₂在点A₁的右上方，∴b₁=a₂-a₁＞0，
∵{A_n}为T点列，
∴b_n≥b₁＞0，
∴（a_k+2-a_k+1）（a_k-a_k+1）=-b_k+1b_k＜0，则 A_k+1A_k•A_k+1A_k+2＜0
∴∠A_KA_K+1A_K+2为钝角，
∴△A_KA_K+1A_K+2为钝角三角形．

点评：本题考查数列和不等式的综合运用，解题时要认真审题，注意T点列的理解和合理地进行等价转化．