Question

如图，三棱锥D-ABC中，AB=BC=2，BD=3，∠ABC=∠DBA=∠DBC=60°，E为AC的中点．
（1）求证：AC⊥平面BDE．
（2）求三棱锥D-ABC的体积．

Answer 1

考点：棱柱、棱锥、棱台的体积,直线与平面垂直的判定

专题：空间位置关系与距离

分析：（Ⅰ）运用题目条件得出BE⊥AC，DE⊥AC．运用判定定理得证AC⊥平面BDE．
（Ⅱ）求出DE=

6

，判断DE⊥平面ABC，得出又S△ABC=

1

2

×2×

3

=

3

，运用并体积公式V_D-ABC=

1

3

×

3

×

6

=

2

．

解答： 解：（Ⅰ）∵∠ABC=60°，AB=BC=2，
∴△ABC为等边三角形．
又∵E为AC的中点，∴BE⊥AC，
又∵AB=BC，∠DBA=∠DBC，BD=BD
∴△ABD≌△CBD，DA=DC，
∴DE⊥AC．
∴AC⊥平面BDE．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，△AEB、△AED都是直角三角形，
在△AEB中，BE=

3

，
在△ABD中，DA²=AB²+BD²-2AB×BDcos60°=7
在△AED中，DE²=DA²-AE²=6，DE=

6

，
∴DE²+BE²=9=BD²
∴∠DEB=90°，DE⊥BE      
又∵DE⊥AC，∴又S△ABC=

1

2

×2×

3

=

3

，
∴V_D-ABC=

1

3

×

3

×

6

=

2

．

点评：本题考查了空间几何体的性质，运用判断垂直，求解体积等问题，属于中档题．