Question

【题目】设是虚数，是实数，且.

（1）求的值以及的实部的取值范围；

（2）若，求证为纯虚数；

（3）在（2）的条件下，求的最小值.

Answer 1

【答案】（1）， ；（2）证明见解析；（3）1.

【解析】

（1）设出复数，写出的表示式，进行复数的运算，把整理成最简形式，再根据所给的范围，得到的虚部为0，实部属于这个范围，得到的实部的范围；

（2）根据设出的，整理的代数形式，进行复数的除法的运算，整理成最简形式，根据上一问做出的复数的模长为1，得到是一个纯虚数；

（3），再利用基本不等式即可求得结果

解：（1）由是虚数，设，则

，

因为为实数，所以且，所以

所以，

此时，

因为，所以，得

（2）因为，且，

所以，

因为，，所以为纯虚数

（3），

由，得，

故当且仅当，即时，有最小值1