Question

【题目】已知函数f（x）=ax+x2﹣xlna﹣b（b∈R，a＞0且a≠1），e是自然对数的底数．
（1）讨论函数f（x）在（0，+∞）上的单调性；
（2）当a＞1时，若存在x1 ， x2∈[﹣1，1]，使得|f（x1）﹣f（x2）|≥e﹣1，求实数a的取值范围．（参考公式：（ax）′=axlna）

Answer 1

【答案】
（1）解：f'（x）=axlna+2x﹣lna=2x+（ax﹣1）lna…

当a＞1时，lna＞0，当x∈（0，+∞）时，2x＞0，ax＞1，∴ax﹣1＞0，

所以f'（x）＞0，故函数f（x）在（0，+∞）上单调递增；

当0＜a＜1时，lna＜0，当x∈（0，+∞）时，2x＞0，ax＜1，∴ax﹣1＜0，

所以f'（x）＞0，故函数f（x）在（0，+∞）上单调递增，

综上，f（x）在（0，+∞）上单调递增

（2）解：f（x）=ax+x2﹣xlna﹣b，因为存在x1，x2∈[﹣1，1]，使得|f（x1）﹣f（x2）|≥e﹣1，

所以当x∈[﹣1，1]时，|f（x）max﹣f（x）min|=f（x）max﹣f（x）min≥e﹣1

f'（x）=axlna+2x﹣lna=2x+（ax﹣1）lna，

①当x＞0时，由a＞1，可知ax﹣1＞0，lna＞0，∴f'（x）＞0；

②当x＜0时，由a＞1，可知ax﹣1＜0，lna＞0，∴f'（x）＜0；

③当x=0时，f'（x）=0，∴f（x）在[﹣1，0]上递减，在[0，1]上递增，

∴当x∈[﹣1，1]时，f（x）min=f（0）=1﹣b，f（x）max=max{f（﹣1），f（1）}，

而 ，

设 ，因为 （当t=1时取等号），

∴ 在t∈（0，+∞）上单调递增，而g（1）=0，

∴当t＞1时，g（t）＞0，∴当a＞1时， ，

∴f（1）＞f（﹣1），

∴f（1）﹣f（0）≥e﹣1，∴a﹣lna≥e﹣1，即a﹣lna≥e﹣lne，

设h（a）=a﹣lna（a＞1），则 ，

∴函数h（a）=a﹣lna（a＞1）在（1，+∞）上为增函数，∴a≥e，

既a的取值范围是[e，+∞）

【解析】（1）求导数f′（x），通过讨论0＜a＜1，a＞1以及x＞0可判断导数符号，从而得到函数的单调性；（2）存在x1 ， x2∈[﹣1，1]，使得|f（x1）﹣f（x2）|≥e﹣1，等价于当x∈[﹣1，1]时，|f（x）max﹣f（x）min|=f（x）max﹣f（x）min≥e﹣1，利用导数易求函数f（x）在[﹣1，1]上的最小值f（0），而f（x）max=max{f（﹣1），f（1）}，作差后构造函数可得f（x）max=f（1），从而有f（1）﹣f（0）≥e﹣1，再构造函数利用单调性可求得a的范围；
【考点精析】利用利用导数研究函数的单调性和函数的最大(小)值与导数对题目进行判断即可得到答案，需要熟知一般的,函数的单调性与其导数的正负有如下关系： 在某个区间内，(1)如果，那么函数在这个区间单调递增；(2)如果，那么函数在这个区间单调递减；求函数在上的最大值与最小值的步骤：（1）求函数在内的极值；（2）将函数的各极值与端点处的函数值，比较，其中最大的是一个最大值，最小的是最小值．