Question

等比数列{a_n}的公比q＞1，其第17项的平方等于第24项，求使a1+a2+…+an＞

1

a1

+

1

a2

+…+

1

an

成立的最小正整数n的值．

Answer 1

分析：设首项为a₁，公比为q，依题意有（a₁q¹⁶）²=a₁q²³，可得 a₁q⁹=1，不等式即

a1(qn-1)

q-1

＞

1 a1 [1-( 1 q )n]

1- 1 q

，
求出 n＞19，由n∈N_*，可得n的最小值为20．

解答：解：设首项为a₁，公比为q，依题意有（a₁q¹⁶）²=a₁q²³，∴a₁q⁹=1．
∵{a_n}为等比数列，∴{

1

an

}是以

1

a1

为首项，

1

q

为公比的等比数列．
只需

a1(qn-1)

q-1

＞

1 a1 [1-( 1 q )n]

1- 1 q

，∵q＞1，把a₁²=q^-18代入整理，得q-18(qn-1)＞q(1-

1

qn

)，
∴qⁿ＞q¹⁹，∴n＞19，∵n∈N_*，∴n的最小值为20．

点评：本题考查等比数列的定义和性质，等比数列的前n项和公式，得到

a1(qn-1)

q-1

＞

1 a1 [1-( 1 q )n]

1- 1 q

，是解题的关键