Question

【题目】已知函数f（x）=xlnx+（1﹣x）ln（1﹣x），x∈（0，1）．
（1）求f（x）的最小值；
（2）若a+b+c=1，a，b，c∈（0，1）．求证：alna+blnb+clnc≥（a﹣2）ln2．

Answer 1

【答案】
（1）解： ，

令 ．

当 时，f′（x）＜0；当 时，f′（x）＞0．

所以， ．

（2）证明：由a+b+c=1，a，b，c∈（0，1），得 ， ．

由（1），当x∈（0，1），xlnx+（1﹣x）ln（1﹣x）≥﹣ln2，

所以， ， ，

blnb+clnc≥（a﹣1）ln2+（b+c）ln（1﹣a）=（a﹣1）ln2+（1﹣a）ln（1﹣a）．（*）

因为a∈（0，1），由（1），alna+（1﹣a）ln（1﹣a）≥﹣ln2，

所以，（1﹣a）ln（1﹣a）≥﹣alna﹣ln2．（**）

由（*） （**），blnb+clnc≥（a﹣1）ln2﹣alna﹣ln2，

所以，alna+blnb+clnc≥（a﹣2）ln2．

【解析】（1）求函数的最值问题，需求出该函数的导函数，判断函数的单调性，求出极值点，在给定区间内求解函数的最小值；
（2）由a+b+c=1,推出,由（1）的结果转化推出,即可证明
【考点精析】本题主要考查了不等式的证明的相关知识点，需要掌握不等式证明的几种常用方法:常用方法有：比较法（作差，作商法）、综合法、分析法；其它方法有：换元法、反证法、放缩法、构造法，函数单调性法，数学归纳法等才能正确解答此题．