Question

6．如图所示，空间四边形ABCD中，E、F、G、H分别是AB、BC、CD，DA上的点．且满足$\frac{AE}{EB}$=$\frac{AH}{HD}$=$\frac{1}{2}$，$\frac{CF}{FB}$=$\frac{CG}{GD}$=2．
（1）求证：四边形EFGH是梯形；
（2）若BD=a．求梯形EFGH的中位线的长．

Answer 1

分析 （1）利用比例关系，求出EH∥BD，FG∥BD，EH=$\frac{1}{3}BD$，FG=$\frac{2}{3}$BD，即可证明四边形EFGH是梯形；
（2）EH=$\frac{1}{3}BD$=$\frac{1}{3}a$，FG=$\frac{2}{3}$BD=$\frac{2}{3}$a，即可求梯形EFGH的中位线的长．

解答 （1）证明：∵$\frac{AE}{EB}$=$\frac{AH}{HD}$=$\frac{1}{2}$，$\frac{CF}{FB}$=$\frac{CG}{GD}$=2，∴EH∥BD，FG∥BD，EH=$\frac{1}{3}BD$，FG=$\frac{2}{3}$BD．
∴EH∥FG，EH≠FG，
∴四边形EFGH是梯形；
（2）解：∵BD=a，
∴EH=$\frac{1}{3}BD$=$\frac{1}{3}a$，FG=$\frac{2}{3}$BD=$\frac{2}{3}$a，
∴梯形EFGH的中位线的长为$\frac{a}{2}$．

点评 本题考查直线与直线平行的判定，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．