分析 (I)利用数列的单调性即可证明;
(II)利用递推关系、等比数列的通项公式即可得出;
(III)利用“累加求和”与不等式的性质即可得出.
解答 (Ⅰ)证明:∵ak+1-ak=ai>0(i≤k,k=1,2,3,…,n-1),
∴数列{an}是递增数列,即1<a2<a3<…<an.
又∵ak+1-ak=ai≥1(i≤k,k=1,2,3,…,n-1),
∴ak+1-ak≥1(k=1,2,3,…,n-1).
(Ⅱ)解:∵a2-a1=a1,∴a2=2a1;
∵{an}是等比数列,∴数列{an}的公比为2.
∵ak+1-ak=ai(i≤k,k=1,2,3,…,n-1),∴当i=k时有ak+1=2ak.
这说明在已知条件下,可以得到唯一的等比数列.
∴${a_n}={2^{n-1}}$.
(Ⅲ)证明:∵1=a1=1,2=a2=2,$3≤{a_3}≤{2^2}$,$4≤{a_4}≤{2^3}$,…,$n≤{a_n}≤{2^{n-1}}$,
由上面n个式子相加,得到:$1+2+3+…+n≤{a_1}+{a_2}+{a_3}+…+{a_n}≤{2^0}+{2^1}+{2^2}+…+{2^{n-1}}$,
化简得 $\frac{n(n+1)}{2}<({a_1}+{a_2}+{a_3}+…+{a_n})<({2^n}-1)$,
∴$\frac{1}{2}n(n+1)≤{S_n}≤{2^n}-1$.
点评 本题考查了等差数列与等比数列的通项公式及其前n项和公式、递推关系的应用、“累加求和”、不等式的性质,考查了推理能力与计算能力,属于中档题.
科目:高中数学 来源: 题型:选择题
A. | $\frac{2}{3}$ | B. | $\frac{1}{2}$ | C. | $\frac{4}{9}$ | D. | $\frac{2}{9}$ |
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A. | (-∞,-1)∪(3,+∞) | B. | (-∞,-1]∪[3,+∞) | C. | (-1,3) | D. | [-1,3] |
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A. | $\frac{1}{2}$ | B. | $\frac{{\sqrt{2}}}{2}$ | C. | $\sqrt{2}$ | D. | 2 |
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