Question

【题目】设首项为1的正项数列{an}的前n项和为Sn ， 且Sn+1﹣3Sn=1．
（1）求证：数列{an}为等比数列；
（2）数列{an}是否存在一项ak ， 使得ak恰好可以表示为该数列中连续r（r∈N* ， r≥2）项的和？请说明理由；
（3）设 ，试问是否存在正整数p，q（1＜p＜q）使b1 ， bp ， bq成等差数列？若存在，求出所有满足条件的数组（p，q）；若不存在，说明理由．

Answer 1

【答案】
（1）证明：∵Sn+1﹣3Sn=1，

∴当n≥2时，Sn﹣3Sn﹣1=1，

两式相减得：an+1=3an，

又∵Sn+1﹣3Sn=1，a1=1，

∴a2=S2﹣S1=2a1+1=3满足上式，

∴数列{an}是首项为1、公比为3的等比数列

（2）解：结论：不存在满足题意的项ak；

理由如下：

由（1）可知an=3n﹣1，Sn= = （3n﹣1），

假设数列{an}中存在一项ak，使得ak恰好可以表示为该数列中连续r（r∈N*，r≥2）项的和，

则3k﹣1=Sr+t﹣St= （3r+t﹣1）﹣ （3t﹣1）= （3r+t﹣3t）= 3t（3r﹣1），

于是 （3r﹣1）=3x（其中x为大于1的自然数），

整理得：3r﹣x﹣ =2，

显然r无解，故假设不成立，

于是不存在满足题意的项ak

（3）解：结论：存在唯一的数组（p，q）=（2，3）满足题意；

理由如下：

由（1）可知bn= ，

假设存在正整数p，q（1＜p＜q）使b1，bp，bq成等差数列，

则2bp=b1+bq，即2 = + ，

整理得：2p3q﹣p=3q﹣1+q，

∴q=2p3q﹣p﹣3q﹣1=3q﹣p（2p﹣3p﹣1），

∵当p≥3时2p﹣3p﹣1＜0，

∴当p≥3时不满足题意，

当p=2时，2 = + 即为： = + ，

整理得： = ，解得：q=3，

综上所述，存在唯一的数组（p，q）=（2，3）满足题意．

【解析】（1）通过Sn+1﹣3Sn=1与Sn﹣3Sn﹣1=1作差可知an+1=3an（n≥2），进而可知数列{an}是首项为1、公比为3的等比数列；（2）通过（1）可知an=3n﹣1、Sn= （3n﹣1），假设存在满足题意的项ak ， 则3k﹣1=Sr+t﹣St ， 进而化简可知不存在r满足3r﹣x﹣ =2，进而可得结论；（3）通过（1）可知bn= ，假设存在正整数p，q（1＜p＜q）使b1 ， bp ， bq成等差数列，通过化简可知q=3q﹣p（2p﹣3p﹣1），利用当p≥3时2p﹣3p﹣1＜0可知当p≥3时不满足题意，进而验证当p=2时是否满足题意即可．
【考点精析】本题主要考查了等比关系的确定和数列的前n项和的相关知识点，需要掌握等比数列可以通过定义法、中项法、通项公式法、前n项和法进行判断；数列{an}的前n项和sn与通项an的关系才能正确解答此题．