Question

在(

x

+

1

2• 4 x

)n的展开式中，前三项的系数成等差数列，则展开式中的有理项共有

3

项．

Answer 1

分析：先求得展开式的前三项的系数，再根据前三项的系数成等差数列，求得n=8，依据展开式的通项公式可得r=0，4，8 时，展开式为有理项，从而得出结论．

解答：解：展开式的前三项的系数分别为

C

0 n

、

1

2

C

1 n

、

1

4

C

2 n

，且前三项的系数成等差数列，
故有

C

1 n

=1+

1

4

C

2 n

，即 n=1+

1

4

×

n(n-1)

2

，解得n=8，或n=1（舍去）．
故展开式的通项公式为 T_r+1=

C

r 8

•x

8-r

2

•(

1

2

)r•x-

r

4

=(

1

2

)r•

C

r 8

•x

16-3r

4

．
要使展开式为有理项，r应是4的非负整数倍，故r=0，4，8，共有3个有理项，
故答案为 3．

点评：本题主要二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，求展开式中某项的系数，二项式系数的性质，属于中档题．